Способи задання числових послідовностей:

1) описом знаходження її членів.

Приклад. Числова послідовність дільників числа 15, за­писаних у порядку зростання:

(а_п): а₁= 1; а₂ = 3; а₃ = 5; ...; а₄ = 15;

2) переліком її членів.

Приклад. (а_n): 54; 1; 33; 27, тоді а₁ = 54; а₂ = 1; а₃ = 33; а₄ = 27;

3) таблицею.

4) формулою п-го члена.

Приклад. а_п = п² – 1, тоді а₁ = 1² – 1 = 0; а₂ = 2² – 1 = 3; а₃ = 3² – 1 = 8 і т.д.;

5) рекурентною формулою.

Приклад. а_п = а_п-1 ∙ а_п-2, якщо а₁ = 1; а₂ = 2, тоді а₁ = 1; а₂ = 2; а₃ = а₁ ∙ а₂ = 2; а₄ = а₂ ∙ а₃ = 2 ∙ 2 = 4;

а₅ = а₃ ∙ а₄ = 4 ∙ 2 = 8.

2. Перпендикулярність площин. Ознака перпендикулярності площин.

Означення перпендикулярності двох площин.

Дві площини, що перетинаються, нази­ваються перпендикулярними, якщо тре­тя площина, проведена перпендикуляр­но до лінії перетину цих площин, пере­тинає їх по перпендикулярних прямих.

Якщо площина α перетинає площину β по прямій с, γ с: γ перетинає α по прямій а, γ перетинає β по прямій b і а с, а b, то α β.

Ознака перпендикулярності площин.

Теорема. Якщо пряма проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні

Дано: α — площина, b α, β проходить через b.

Довести: β α.

Доведення

Площини α і β перетинаються по прямій c. У площині α через точку перетину b і с проведемо пряму а с. Через прямі а і b проведемо площину γ.

γ с, оскільки с а і с b; пряма а b, тому α β. Теорему доведено.

Властивість: якщо пряма, що лежить в одній з двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна до другої площини.

Дано: α β, α β = с, а α, а с. Довести: α β.

Білет № 10

1. Границя функції в точці. Основні властивості границь.

2. Циліндр. Осьовий переріз циліндра. Переріз циліндра площинами

3. Знайти: .

4. Кінці відрізка А(5; -2; 1 і В(5; 3; 6). Знайти точку, симетричну середині відрізка відносно площини xz.

1. Границя функції в точці. Основні властивості границь.

Число b називається границею функції у = f(x) в точці а, якщо для будь-якого ε > 0 існує таке число δ = δ(ε) > 0, що для всіх х: 0 < |х – а| < δ, виконується нерівність |f(x) – b| < ε. (Рис. 15).

Основні властивості границь:

1. Якщо функція f(x) має границю при х → а, то ця границя єдина.

2. Границя постійної функції дорівнює постійній = С, де С — постійна.

3. Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їхніх границь, при умові, що границі доданків існують.

(f(x) ± g(x)) = f(х) ± g(x).

4. Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих функцій, якщо границі множників існують

(f(x) · g(x)) = f(x) · g(x).

5. Постійний множник можна виносити за знак границі

(Cf(x)) = С f(x).

6. Границя частки двох функцій дорівнює частці границь цих функцій, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю

, .

Приклад,