1. Похідна функції. Похідні показникової, логарифмічної та тригонометричних функцій.

Похідною функції у = f(x) в точці х_о називається границя відно­шення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

.

2. Перпендикуляр і похила до площини. Теорема про три перпендикуляри.

Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називають відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міс­титься між даною точкою і площиною.

На рис. 162 пряма AC перпендикулярна до площини α і перетинає її в точці С, отже, відрізок AC — перпендикуляр, опущений з точки А на площину α. Кінець цього відріз­ка, який лежить у площині, тобто точка С, називається основою перпендикуляра.

Я кщо AC — перпендикуляр до площини α, а точка В — відмінна від С точка цієї пло­щини, то відрізок АВ називають похилою, про­веденою з точки А на площину α. Точка В — основа похилої. Відрізок, що з'єднує основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називається проекцією похилої. На рис. 162 відрізок ВС — проекція похилої АВ на площину α.

Теорема про три перпендикуляри

Теорема 1.(пряма теорема) Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої (див. рисунок).

Теорема 2.(обернена теорема) Якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Теорема 1.(пряма теорема) Дано:АВ α; С α, с α; с ВС (рис. 194)

Довести: c AC

Доведення. Через точку С і пряму АВ проводимо β і в ній А₁С: А₁С || АВ. Оскільки А₁С || АВ і АВ α, то А₁С α, А₁С с . Оскільки с ВС, с А₁С, то с β , отже, с AC .

Теорема 2.(обернена теорема) Дано:АВ α; С α, с α; с АС (рис. 194).

Довести: c BC.

Доведення. Через точку С і пряму АВ проводимо β і в ній А₁С: А₁С || АВ . Оскіль­ки А₁С || АВ і АВ α, то A₁С α , А₁С с . Оскільки АС с, А₁С с, то β і с, отже, BC с .

Білет № 25

1. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної до графіка функції.

2. Паралелепіпед та його властивості.

3. Знайдіть область визначення функції: f (x) = lg (6x – x²) + .

4. У кулі на відстані 12 см від її центра проведено переріз, площа якого дорівнює 64 см². Знайдіть площу поверхні кулі.

1. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної до графіка функції.

Геометричний зміст похідної: значення похідної функції y = f(x) у точці x₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x₀: y' = f'(x₀) = k = tgα.

Дотичною до графіка функції F(x) у точці з абсцисою х₀ називається граничне положення січної до графіка даної функції, що проходить через дві точки графіка, одна з яких має абсцису х₀, якщо різниця абсцис цих точок прямує до нуля.

Рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці М(x_o; у_o) має вигляд:

y – y_о = f '(x_o)(x – x_o).

Рівняння дотичної до кривої у = f(x) у заданій точці x_o можна знаходити за таким планом (схемою):

1. Записуємо рівняння (2) дотичної: y – y_о = f '(x_o)(x – x_o).

2. Знаходимо у_o = f(x_o)·

3. Знаходимо значення f '(x) у точці x_o: f '(x_o).

4. Підставляємо значення x_o, y_o і f '(x_o) y рівняння (2).