Доведення

Припустимо, що пряма а не належить площині  . Тоді а і  мають спільну точку А.

Якщо А  b , то а і b мають спільну точку А, що суперечить умові.

Якщо А  b , то а і b мимобіжні, що суперечить умові.

Отже, а ||  .

Білет № 19

1. Степенева функція з цілим показником, її графік і властивості.

2. Взаємне розміщення двох площин у просторі. Ознака паралельності двох площин.

3. Знайдіть екстремуми функції у = (2х – 1) е^3х .

4. В основі конуса проведено хорду завдовжки а, яку видно із центра основи під кутом α, а з вершини конуса – під кутом β. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

1. Степенева функція з цілим показником, її графік і властивості

Степеневою функцією називається функція виду у = х^p,

де р — постійне дійсне число, а х (основа) — змінна.

p		Графік		D(y)		E(y)		Пар­ність (непарність)		Зрос­тання (спа­дання)
p=2k, k N				R		[0; +∞)		парна		спадає, якщо х (-∞; 0], зростає, якщо х [0; +∞)
p= 2k+1 k N				R		R		непар­на		зростає
p= -(2k), k N				x ≠ 0		(0; +∞)		парна		зростає, якщо х (-∞;0); спадає, якщо х (0; +∞)
p=-(2k-1) k N			x ≠ 0		y ≠ 0		непар­на		Спадає на проміж­ках (-∞; 0), (0; +∞)
p > 0, p – не ціле, 0<р<1			[0;+∞)		[0;+∞)		ні парна, ні непар­на		зростає
Р>0, p – не ціле, р > 1			[0;+∞)		[0;+∞)		ні парна, ні непар­на		зростає
р < 0, р – не ціле			(0;+∞)		(0;+∞)		ні парна, ні непар­на		спадає

2. Взаємне розміщення двох площин у просторі. Ознака паралельності двох площин.

Теорема (ознака паралельності площин )

Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.

Дано: a₁  ; а₂  ; a₁ і a₂ перетинаються в точці А;

b₁   ; b₂  ; a₁ || b₁; а₂ || b₂ (рис. 59).

Довести:  || .

Доведення

Припустимо, що  і  перетинаються по с. Оскільки a₁ || b₁, то а₁ || , отже, а₁ || с. Оскільки а₂ || b₂ то а₂ || , отже, а₂ || с. Через точку А проходять дві прямі а₁ і а₂, які паралельні с, що суперечить аксіомі па­ралельності. Отже,  || .

Білет № 20

1. Показникова функція, її графік і властивості.

2. Вектори у просторі. Дії над векторами. Множення вектора на число, його властивості.

3. Доведіть тотожність = .

4. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Діагональ грані, що містить бічну сторону трикутника дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об’єм призми.