Ответы на контрольные вопросы.

1. Поясните организацию линейного поиска на основе методов золотого сечения, Фибоначчи и Пауэлла.

Организация поиска минимума функции многих переменных в заданном направлении аналогична поиску минимума целевых функции. Различие заключается в описании (задании) функции, а также в методе Свенна, при помощи которого производится нахождение интервала локализации минимума.

Рассмотрим метод Свенна для функции многих переменных.

Его отличие заключается в том, что для опредения направления убывания функции мы определяем значение производной функции в нуле. Если оно больше нуля тогда знак шага фукции a меняется на противопложный. А удвоение шага происходит до тех пор пока не поменяет знак значения произведения производных функции на концах отрезка.

В своей работе я задавал функцию описывая каждую переменную через шаг функции - a.

Методы золотого сечения и метод Пауэлла приведены в данном отчёте в пункте описания методов оптимизации.

2. Найти производную dfx в точке x¹=(1,0)^t по направлению p¹=(1,1)^t для функции

f(x) = x1² – x1x2 + 2*(x2)² - 2x1.

g1=2x1-x1-2=2-2=0.

g2=-x1+4*(x2)= -1

Таким образом dfx = g1*p1 + g2*p2 = 0*1 + (-1)*1 = -1.

3. Как изменится процедура минимизации методами Больцано, дихотомии, дск, Дэвидона при переходе от поиска на числовой прямой к поиску на плоскости r2?

При минимизации вышеуказанными методами на числовой прямой направление всегда фиксировано и задается во всех используемых методах изначально. При поиске на плоскости применяются градиентные методы, в которых направленеи изменяется, т.е. необходимо подавать не постонные значения направления, а переменные.

4. Что является направлением наискорейшего спуска в точке x = (1,1)^t для целевой функции y(x) = x₁² + 2x₂² ?

Направлени наискорейшего спуска.

(вычислим антиградиентное направление движения)

5. Найдите минимум y(x) = x₁² - x₁x₂ + 2x₂² - 2x₁ + e^x1+x2, двигаясь из точки x = (0,0) в направлении наискорейшего спуска.

- (0.4998;-0.4998)

Вывод

В данной лабораторной работе был использован метод Гаусса-Зейделя. В итоге был получен минимум совпадающий с результирующими табличными данными.