ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования.

«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» имени В.И. Ульянова (Ленина)»

(СПБГЭТУ)

Кафедра ВТ

Практическая работа №2

«Исследование методов полиномиальной интерполяции для поиска минимума целевых функций»

Выполнил: ст. группы 9307 Джабаров Р.Р.

Проверил: проф. Дмитревич Г.Д.

Санкт-Петербург

2014

Оглавление

Задание 2

Описание методов оптимизации 3

Блок-схема метода Свенна-3 6

Спецификация программы 7

Текст программы 7

Результаты тестирования программы. 10

Ответы на контрольные вопросы. 10

Вывод. 11

Задание

Целью работы является:

1) сравнение двух методов одномерной минимизации - прямого и интерполяционного;

2) разработка программы, реализующей прямой метод на этапе установления границ начального интервала и метод полиномиальной интерполяции для локализации искомого минимума.

Протестировать программу и сравнить результаты работы заданных методов оптимизации при использовании различных критериев окончания поиска и при задании различных значений погрешности локализации минимума. Сделать выводы.

Функция f(x)	Начальная точка x1	Точность локализации минимума eps	Значение минимума х*
2х2 – ех	1	10-3	0.357403

Описание методов оптимизации

Методы линейного поиска, используемые при выполнении лабораторной работы.

1. Метод Свенна-1

Метод Свенна организует начальную локализацию минимума унимодальной функции, т.е. простой одномерный поиск с удвоением шага, критерием окончания которого является появление признака возрастания функции.

Начальный этап.

(1) задать произвольную начальную точку x0

(2) выбрать начальный шаг h=0,01 (если x0=0),а если нет, то h=0.01*|x0|

Основной этап

Шаг 1. Установить направление убывания функции. Для этого взять x2=x1+h. Если f(x1) <f(x2), то поменять направление движения: h1=-h1 и взять x2=x1+h1.

Шаг 2. Вычислить fk в точках xk+1=xk+hk, где k=2,3,4,…,m-1; hk=2hk-1 – движение с удвоением шага, до тех пор, пока не придём в точку xm такую, что f(xm)<f(xm-1).

Шаг 3. Установить начальный интервал локализации минимума

a1=xm-2

b1=xm

2. Метод Свенна-3

Определить три равноотстоящие точки a,b,c.

1. выбрать направление движения, взять x2=x1+h, if (f2>f1) h=-h

2. двигаемся с удвоением шага xk+1=xk+hk, hk=2hk-1, fn>fn-1

3. взять точку xn+1 в центре последнего интервала xn+1=(xn+xn-1)/2

4. из двух центральных точек (xm+1, xm-1) взять «лучшую», которая отвечает требованиям b=xi => fi=min(fm+1,fm-1)

5. фиксируем «лучшую» точку и две соседнии с ней, рассмотрев две возможные ситуации: 1) fm-1<fm+1 a=a, b=xm-1, c=xn+1; 2) a=xm-1, b=xm+1, c=c.

3) Метод ДСК

3 Этапа:

1й этап. Выбор 3-ч равноотстаящих точек т.к. из условия |b-a|=|c-a|.

2й этап. Определение аппроксимирующего минимума по формулам (3) или (4).

3й этап. Возврат на начальный этап с уменьшенным в двое шагом h=h/2.

Реализация:

Начальный этап.

Взять произвольную точку х1, шаг h1, константы точности окончания поиска . k=1.

Основной этап.

Шаг 1. Методом Свенна 3, определить три равноотстоящие точки a,b,c.

6. выбрать направление движения, взять x2=x1+h, if (f2>f1) h=-h

7. двигаемся с удвоением шага xk+1=xk+hk, hk=2hk-1, fn>fn-1

8. взять точку xn+1 в центре последнего интервала xn+1=(xn+xn-1)/2

9. из двух центральных точек (xm+1, xm-1) взять «лучшую», которая отвечает требованиям b=xi => fi=min(fm+1,fm-1)

10. фиксируем «лучшую» точку и две соседнии с ней, рассмотрев две возможные ситуации: 1) fm-1<fm+1 a=a, b=xm-1, c=xn+1; 2) a=xm-1, b=xm+1, c=c.

Шаг 2. Выполнить аппроксимизацию – формулу (3) или (4).

Проверить КОП:

, если критерий соблюдается стоп. Иначе:

1. из двух точек b и d взять «лучшую», обозначить как стартовую x1.

x1=> xi=(b,d)=min(fb,fd)

2. h=h/2

3. вернуться на шаг 1.

4) Алгоритм Фибоначчи-2

Начальный этап

(1) Задать константу , начальный интервал [a₁, b₁], длину конечного интервала L_n и определить число n так, чтобы выполнялось условие F_n > (b₁ - a₁)/L_n.

(2) Выбрать одну пробную точку . Положить

k = 1.

Основной этап

Шаг 1. Проверить критерий окончания поиска: если k=n, то остановиться и положить x*=x₂.

Шаг 2. Сократить текущий интервал локализации рассмотрением 4-х ситуаций, аналогично методу золотого сечения-2.