Вариант №13.
Задание
№1. Доказать,
что в пространстве многочленов степени
скалярное произведение можно задать
соотношением
,
если
,
.
Найти угол между
,
.
Задание №2.
Доказать, что многочлены
,
,
и
,
,
.
Образуют базисы в пространстве многочленов
степени
.
Найти матрицу перехода от
базиса
к
.
Задание
№3. Дополните систему
векторов
и
до ортогонального базиса.
Задание №4.
Исследовать на ортогональность оператор
заданный матрицей в ортонормированном
базисе:
,
найти образ элемента
.
Задание №5. Найти ядро и образ линейного оператора а, преобразующего вектор в вектор . Вариант №14.
Задание
№1. Докажите, что в
пространстве функций непрерывных на
отрезке
скалярное произведение нельзя задать
соотношением
.
Задание №2.
Доказать, что элементы
,
и
образуют базис в арифметическом
пространстве
.
Разложить элемент
по этому базису.
Задание
№3. Дополнить до
ортогонального базиса элементы
Задание №4.
При каких
и
оператор
заданный
матрицей:
является обратимым. Найти образ
элемента
при
.
Задание №5.
Найти ядро и образ линейного оператора
А, преобразующего вектор
в вектор
.
Вариант №15. Задание №1. Доказать, что множество решений данной системы образует линейное пространство. Найти его размерность и базис .
Задание
№2. Доказать, что
векторы
,
,
и
,
,
образуют базисы в пространстве
геометрических векторов. Найти матрицу
перехода от
к
.
Задание
№3. Применить процесс
ортогонализации к системе
,
,
и найти ортонормированный базис.
Задание №4.
Найти образ элемента
относительно оператора
,
если операторы
и
заданы
своими матрицами:
и
.
Задание №5.
Найти ядро и образ линейного оператора
А, преобразующего вектор
в вектор
.
Вариант №16.
Задание
№1. Доказать, что в
пространстве диагональных матриц
размерности
соотношение
,
где
и
задает скалярное произведение. Найти
угол между
и
.
Задание
№2. Доказать, что
многочлены
,
и
образуют базис в пространстве многочленов
степени
.
Найти координаты многочлена
.
Задание
№3. Ортонормировать
базис
,
,
.
Задание №4.
Исследовать на линейность оператор
,
преобразующий вектор
в вектор
.
Найти образ вектора
.
Задание №5
Найти ядро и образ линейного оператора
А, преобразующего вектор
в вектор
.
Вариант №17.
Задание
№1. Доказать, что
множество геометрических векторов
пространства с началами в точке
и концами на плоскости
не является линейным пространством.
Задание №2.
Доказать, что системы элементов
,
,
и
,
,
образуют базисы в арифметическом
пространстве
.
Найти матрицу перехода от
к
.
Задание №3.
Дополнить до ортогонального базиса
элементы
Задание №4. Является ли оператор , преобразующий вектор в вектор , обратимым. Найти образ элемента .
Задание №5. Найти
ядро и образ линейного оператора А, если
произвольный базис
он преобразует в базис
