1.2. Задание №2.

При выполнении данного задания студент обязан владеть понятием матрицы перехода между базисами и правилом преобразования координат элемента линейного пространства при переходе от базиса к базису.

Пусть заданы два произвольных базиса (e₁, e₂…e_n) и (e`<sub>1</sub>, e`₂…e`_n) в n-мерном линейном пространстве.

Определение №8. Матрица, столбцами которой являются координаты элементов базиса Е` в базисе Е, называется матрицей перехода от базиса Е к базису Е` и обозначается

Теорема №2 . Координаты элемента линейного пространства при изменении базиса преобразуются по формуле , где

Х- координата элемента в базисе e_i

Х’- координата элемента в базисе e’_i

- матрица перехода между базисами e_i и e’_I

Теорема №3. Если базиса F и G заданы своими координатами своими координатами по базису Е, то матрица перехода между ними определяется формулой: T_FG=T^-1_EFT_EG

П ример №5. Доказать, что векторы

о бразуют базис в линейном пространстве геометрических векторов. Найти координаты вектора в этом базисе.

Решение: Будем считать, канонический базис старым базисом , а новым базисом .

Тогда,

следовательно, - базис, т.к. их координатные столбцы линейно независимы.

По определению матрица перехода между базисами состоит из столбцов координат новых базисных элементов в старом базисе, в нашем случае:

Найдем

Воспользуемся формулой:

Ответ:

Пример №6. Доказать, что и образуют базисы в . Найти матрицу перехода между ними:

Покажем, что координатные строки линейно независимы:

Следовательно, и - базисы.

Они заданы своими координатами по некому третьему не известному базису, обозначим его . Тогда нам известны матрицы

Искомую матрицу найдем по формуле:

Найдем

, , тогда

Ответ: .

1.3. Задание №3.

Для выполнения задания студент обязан владеть правилом ортогонализации произвольного базиса.

Определение №9. Ненулевые элементы образуют ортогональный базис в n-мерном евклидовом пространстве, если они попарно ортогональны друг другу, т.е. выполняется условие ,

Определение № 10. Элементы образуют ортонормированый базис n-мерного евклидова пространства, если они попарно ортогональны и нормы их равны единицам:

Теорема №4. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если в n-мерном евклидовом пространстве задан произвольный базис , то элементы: образуют ортогональный базис этого пр-ва.

Пример № 7. Ортонормировать базис

Решение: Построим ортогональный базис и затем нормируем каждый его элемент.

Проверка: - ортогональны.

Проверка: -ортогональны.

-ортогональны.

Нормируем полученные элементы:

Ответ: ортонормированный базис

Пример №8. Дополнить элементы до ортогонального базиса :

Решение: Ортогонализируем данную систему двух векторов. Однако, - уже ортогональны.

Найдем такой элемент , что и , т.е. решим систему:

, rangA=2

Пусть базисные переменные

свободные

Тогда

Т.о.

Проверка:

Теперь найдем такой элемент , что , , , т.е.:

rangA=3

Пусть базисные переменные

свободная

Тогда

Проверка:

Ответ: ортогональный базис