2. Дробные факторные планы (дробный факторный эксперимент): дробные реплики, определение, правило построения дробных факторных планов, генератор плана.

Дробным факторным экспериментом (ДФЭ) называется некоторая часть полного факторного эксперимента, выбранная по определенному правилу. ПФЭ (если планируется полный факторный эксперимент, то число опытов ). Например, при n = 5 на проверку адекватности линейной модели остается 26 степеней При этом из множества точек факторных планов может быть отобрана некоторая часть, представляющая дробный факторный план (ДФЭ) План, включающий только половину экспериментов ПФЭ, называется полурепликой, включающий четвертую часть опытов – четверть репликой и т. д. Краткое обозначение указанных дробных реплик – 2^n-1, 2^n–2.

Правило построения дробных факторных планов

ДФП типа : основных факторов ПФЭ

ДФП типа строится след. образом. Из n факторов выбирают основных факторов. На них строится ПФЭ с матрицей . Этот план затем дополняют столбцами, соответствующими оставшимся факторам. Эти столбцов формируются на основании алгоритмов, которые называют генераторами плана.

Генератор плана представляет собой произведение основных факторов, определяющее значение элементов каждого из дополнитель­ных столбцов матрицы плана. Для формирования каждого из столбцов используют свой генератор плана. Это произведение включает в себя от 2 до факторов. Для построения требуется генераторов.

Построение дробного факторного плана для n = 3 - исходные факторы

- основные факторы. Построим ДФП в виде полуреплики . Из исходных факторов выделим 2 основных и на этих основных факторах построим полный факторный план . Этот план включает в себя 4 эксперимента и 2 фактора.

-1	+1	-1
+1	+1	+1
-1	-1	+1
+1	-1	-1

Чтобы сгенерировать значение 3-го столбца, используют генератор плана. Единственное произведение -- генератор плана.

ДФЭ - 2^3-1 = 4 ПФЭ - 2³ = 8

Билет №20. 1. Оценка параметров нелинейного статического ОУ.

ОУ представляет собой нелинейное безынерционное звено с одним входом и одним выходом. Его статическая характеристика описывается нелинейной функцией m-параметров: y=f(c₀ c₁ … c_m). f является дифференцируемой по параметрам (c₀ c₁ … c_m) функцией.

Требуется оценить значения параметров (c₀ c₁ … c_m), которые полностью определяют статическую характеристику объекта. Другими словами, их надо оценить по результатам наблюдений за входами и выходами объекта.

На вход данного нелинейного объекта подается сигнал v который измеряется в дискретные моменты времени. В эти же моменты измеряется выход объекта как реакция на входной сигнал. N-число измерений.

v_i->y_i=f_i(c₀ c₁ … c_m)+e_i, i=1,N (1). Известную функцию f с неизвестными параметрами можно представить как модель нелинейного безынерционного объекта. Тогда результаты измерений связаны с измерениями выхода модели соотношением (1). Где e_i случайная составляющая, которая характеризуется корреляционной матрицей Re, размерности NxN: Re=(Ri,j); i,j=1,N. (Ri,j)-коэффициенты корелляционной матрицы, называемые коэф. между i и j измерениями случ. составляющей. В качестве критерия идентификации выберем квадратичный критерий вида: (2) Поскольку f нелин. ф-ция, то аналитически решить поставленную задачу достаточно сложно. Пусть известна грубая оценка вектора коеф. нелинейной зависимости: . Тогда значение в i-том измерении, зависящ. от неизв. векторных оценок можно представить как ф-цию, зависящ. от грубых оценок и некоторой поправки (Δс).

(*) Разложим ф-цию f_i в окрестности грубой оценки в ряд Тейлора и ограничимся 2мя первыми членами, т.е. осуществим лин. аппроксимацию. - скалярное произведение градиента функции на вектор поправок (2а) С учетом (*) выход объекта можно записать в виде соотношения (3), которое связывает выход объекта с его моделью: (3), (4), где .

(4) представляет собой линейную модель наблюдения. По результатам наблюдения за выходом и входом нужно оценить поправку Δс на основании линейной модели наблюдения (4).

Вводится вектор отклонения выхода Δy=(Δy₁ Δy₂ … Δy_N), матрица наблюдений Н, строками которой являются градиенты нелинейной функции f:

; Δy=HΔc+е (5); е=(e₁ e₂ …e_N).

Используя МНК получаем оценку поправки: , где -оценка перв. приближения. -грубая оценка