2. Полные факторные планы первого порядка, определение примеры пфп для , свойства матрицы планирования.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Для оценки числа опытов необходимо задаться числом уровней варьирования каждого фактора. Выбирается минимальное число уровней варьирования факторов. Общее число различных комбинаций уровней в ПФЭ для факторов можно вычислить как: , где – число уровней i-го фактора. Если число уровней для всех факторов одинаково, то , где – количество экспериментальных точек плана (число возможных комбинаций уровней варьирования факторов);

– число уровней варьирования каждого фактора; – число факторов.

Обычно переходят к нормированному факторному пространству, предлагая минимизировать и максимизировать уровни фактора: .Переход к нормированным уровням осуществляется по формуле (2); где входы со * – физическое значение входов, а без* – нормированное значение входов.

(2)

На практике стараются минимизировать и максимизировать значение факторов разделенных большим диапазоном, при этом факторы располагаются симметрично относительно среднего значения.

Определение. Множество всех точек в – мерном пространстве, координаты которых являются +1 (+) или -1 (-), называется полным факторным планом или планом полного факторного эксперимента (ПФЭ) типа . Число точек в этом плане .

Каждая вершина – комбинация полного факторного эксперимента

Пример. При , равном 1, 2 и 3, матрицы планирования для факторных планов имеют вид (неповторяющиеся опыты).

.

Каждая комбинация – реакция.

Правило построения полных факторных планов

Утверждение. Матрица планирования факторного плана может быть получена с помощью матрицы плана по формуле

.

Полный факторный эксперимент обладает свойствами:

ортогональности. Сумма парных произведений элементов любых двух различных столбцов равна нулю. В частности, для простых переменных

симметричности. Сумма всех элементов любого столбца, за исключением первого, равна нулю, например

нормированности. Сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов, так для i-й переменной

.

Если полный факторный эксперимент удовлетворяет этим трем условиям, то оценки коэффициентов регрессии являются независимыми величинами, и дисперсия ошибок определения оценок определяется:

,

-- дисперсия ошибки наблюдения выхода объекта (дисперсия случайной составляющей).

С увеличением числа факторов (входов объекта) число опытов быстро возрастает, и число степеней свободы для оценки адекватности становится чрезмерным. В этом случае, если позволяет точность, можно перейти к дробным факторным планам, которые представляют фрагменты полного факторного эксперимента.

Билет 19. 1. Применение дискретных моделей при идентификации непрерывного ОУ, дискретная модель непрерывного объекта, выбор периода дискретизации.

Постановка задачи та же самая, что и в методе выше:

(1)

где

Задача заключается в нахождении n+m+1 коэффициентов по результатам измерений и в дискретные моменты времени .

1. Так как измерение в виде массива, необходимо составить дискретную модель ОУ. В качестве метода составления дискретной модели используют следующее (соотношение между z и p переменными)

Составление дискретной модели ОУ: (используется первый член степенного ряда ln)

z будем представлять в виде оператора сдвига на один период в сторону опережения, т.е. (2)

ДУ(1) приводится к разностному уравнению (3): (3)

Это уравнение является дискретной моделью непрерывного объекта, а коэффициенты – функциями коэффициентов ДУ(1)

(4)

2. Введём в рассмотрение дискретные операторные ПФ:

и выход объекта запишем через передаточную функцию .Оценку выхода объекта вычислим так же как и выход объекта, за исключением того, что коэффициенты ПФ объекта заменяются оценками: (5)

Оценки вводятся так как точное определение коэффициентов ПФ невозможно, так как вход и выход объекта искажены помехами.

Вводим ошибку идентификации: (6)

На основании ошибки формируется квадратичный критерий идентификации, который является функцией оценок коэффициентов:

, Приводим (6) к общему знаменателю и приходим к оптимизационной задаче: выбрать коэффициент _{таким образом, чтобы критерий идентификации достигал минимума величины:}

_. Если N измерений равно числу оцениваемых коэф, то получаем n+m+1 уравнений с n+m+1 неизвестными.

Выбор периода дискретизации.

Дискретизация по времени приводит к появлению периодических копий спектра сигнала, которые накладываются друг на друга (эффект наложения спектров или элайзинг). При слишком малой частоте дискретизации эти копии перекрываются, что приводит к искажениям сигналам при его восстановлении.

Обозначим – частота дискретизации сигнала, T – период дискретизации.

Критерий Найквиста

Сигнал, подлежащий дискретизации, имеет ширину спектра .

Частота дискретизации сигнала с шириной полос должна удовлетворять условию , в противном случае информация о сигнале будет искажена.

Эффект наложения спектров возникает, когда .

Теорема Кательникова

Если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой , то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени

, то есть с частотой .