2. Условия Гаусса – Маркова: проверка случайного характера элементов остаточного ряда

(13а) – случайные отклонения, остаточная последовательность, остатки (остаточный ряд).

Оценка адекватности по методу Гаусса – Маркова сводится к анализу остатков.

Условия Гаусса – Маркова:

• остатки имеют случайный характер;

• нулевое математическое ожидание остатков;

• отсутствие корреляции остатков;

• остатки подчиняются нормальному закону распределения.

При выполнении этих условий остатки представляют собой нормальный дискретный белый шум, следовательно, модель соответствует наблюдению.

При выполнении этих условий оценки параметров оказываются несмещенными, эффективными и состоятельными.

• Оценка называется несмещенной, если ;

• Оценка называется эффективной, если она определена с наименьшей дисперсией (наибольшей точностью);

• Оценка называется состоятельной, если увеличение числа измерений приводит к увеличению точности оценки.

Оценки МНК обладают указанными свойствами.

Проверка случайного характера элементов остаточного ряда.

Метод серий: 1. Вычисляем остаточный ряд .

2. На основании первой разности остаточного ряда формируется бинарный ряд из 1 и 0 по формулам:

В этом ряду определяем число серий (число последовательностей 0 и 1).

Например, 11000101. S(N) - число серий, Kmax - продолжительность самой длинной серии (Kmax=3). С вероятностью 0.95 остаточный ряд является случайным, если одновременно выполняются два неравенства (14):

где trunk – целая часть.

Билет № 17. 1. Частотный метод определения коэффициентов ПФ объекта .

Модель ОУ представлена ПФ (1)

Оценить три коэффициента a₀ , a₁ и b₀. На вход надо подать гармонические воздействия двух частот и : и

.

.

Перейдем от ПФ (1) к АФХ модели: :

(7)

(8)

В результате преобразований левую часть представим в виде комплексной величины:

.

Получаем 4 уравнения с 3 неизвестными:

(9)

Решение можно получить с помощью МНК – оценок. Запишем (9) в векторной форме. Введя вектор оцениваемых коэффициентов ,

вектор измерений АФХ объекта .

Матрица наблюдений:

– псевдорешение, (10)

– МНК оценки коэффициентов.

2. Оценка адекватности модели оу при проведении параллельных опытов.

В каждой экспериментальной точке vⁱ, проводятся опытов

,

При одних и тех же входных сигналах получаются разные значения на выходе (из-за действия помехи). Рассчитывается среднее наблюдаемое значение:

(3)

Составляется вектор результатов экспери­мента

(4)

Оценка дисперсий:

• В каждой точке проводится один эксперимент

Оценка дисперсии ошибок наблюдений (остаточная сумма):

(5)

- число степеней свободы

Остаточная сумма, приходящаяся на 1 степень свободы, принимается за дисперсию ошибок:

(6)

Оценки дисперсий коэффициентов модели

(7)

Отношение фактической суммы к остаточной дает F-распределение:

Затем определяется табличное значение F-распределения, которое обознач. Fт, оно сравнивается с расчетным F. F>Fт – модель значима.

• В каждой точке проводится экспериментов

Для оценки адекватности:

1) вычисляется сумма квадратов, характеризующая ошибки наблюдений выхода ОУ:

(8)

Nv – всего опытов, N – количество констант, которые определим.

После определяется дисперсия ошибок наблюдения выхода ОУ:

₍₉₎

_{Точность коэффициентов определяется ковариационной матрицей}

2) определяется сумма квадратов, характеризующая неадекватность (дефект) модели:

Находится расчетное значение критерия Фишера:

(10)

Находят табличное Fт. Если F<Fт, то модель адекватна наблюдениям ОУ.

Билет №18. 1. Описание нелинейных стационарных ОУ функциональными рядами Вольтера, ядра Вольтера, структурная схема модели нелинейного объекта, параметризация модели.

ОУ описывается нелинейным ДУ вида (1): где – i- я производная выхода; – j- я производная входа; – нелинейная скалярная функция, подлежащая идентификации по наблюдениям входа и выхода объекта .

Модель Вольтерра.

Эта модель связана с рядом Вольтерра, которым представляется выход нелинейного динамического объекта. ОУ имеет один вход и один выход.

Если – выход ОУ, то – выход нелинейного объекта. Выход нелинейного объекта, который представляет собой функционал, можно аппроксимировать бесконечной суммой .

Аппрокси­мирующая последовательность имеет вид:

(2)

где ряд (2) называется функциональным рядом Вольтерра, – многомерные импульсные переходные функции нестационарного объекта (ядра Вольтерра). Они подлежат идентификации (оценке). Формула (2) описывает выход нестационарного нелинейного объекта. Совокупность ядер ряда однозначно определяет дина­мические свойства нелинейного объекта, а само ядро час­то называют также импульсной переходной функцией (характеристикой) k-го порядка. Структурная схема нелинейной системы, описываемой функциональными рядами Вольтерра, может быть представлена в виде

– ядро первого порядка, – ядро второго порядка, – ядро Вольтерра n-ого порядка.

Для стационарных объектов ряд Вольтерра может быть представлен в виде бесконечной суммы:

(3)

Введя реакции динамических звеньев (5) получаем: (4)

где (5)

Если – выход ОУ, то ряд (4), (5) описывает модель этого ОУ:

(6)

Весовые функции и подлежащие определению на основе измерений входа и выхода.

Ядра Вольтерра должны удовлетворять следующим условиям:

1) , если (физически реализуемо).

2) .

Одним из способов нахождения импульсной переходной характеристики Вольтерра может быть введение ошибки идентификации и критерия 7:

(7)

Другой способ – параметризация задачи, то есть представление функции в виде разложения по системам функций. Пусть оценка выхода нелинейного объекта представлена двумя первыми функционалами Вольтерра (n=2)

(13)

Ядро раскладывается до системы функций (13а) ( ядро первого порядка) а ядро второго по системе (14)

(13а) (14)

Если k=2, то ядро второго порядка:

Пподставляя выражения (13a), (14) в (13), получаем: (15)

где — реакция линейного элемента с весовой функцией на входной сигнал ;

Теперь задача идентификации сведена к определению параметров разложения (15), то есть Общее число этих параметров .

Для оценки коэффициентов необходимо зафиксировать реализацию входа и выхода нелинейного объекта, затем составить критерий идентификации и решить оптимизационную задачу определения коэффициентов, минимизирующих данный критерий.