Частотный метод определения коэффициентов пф

Этот метод параметрической идентификации. Рассмотрим задачу оценки коэффициентов ПФ для ОУ, имеющего один вход и один выход . По условию объект является устойчивым. В качестве модели используется ПФ общего вида (1):

(1)

Следовательно, объект является линейным. Возможна подача на вход объекта гармонического сигнала. Т.к. объект линейный, на выходе – гармонический сигнал той же частоты, но с другой амплитудой и фазовым сдвигом:

– вход ОУ,

– выход ОУ.

Требуется оценить (n+1) и m коэффициентов в полиноме. Общее число оцениваемых коэффициентов (n+m+1). Чтобы решить эту задачу по измерениям гармонического входа и выхода необходимо определить число – частот гармонических сигналов: _, - частоты гарм сигналов.

, - амплитуды выхода и входа.

АЧХ: , (2а) ФЧХ: (2б)

На основании АЧХ и ФЧХ вычисляют экспериментальное значение АФХ:

где

В качестве модели ПФ (1). Перейдем от ПФ (1) к АФХ модели: Левая часть – значение АФХ модели на каждой частоте : (3)

Т.к. модель описывает объект, то значение АФХ модели и объекта, полученных экспериментально, должны быть равны. Получаем уравнений.

Левую и правую части (3) умножаем на знаменатель и преобразуем полученное соотношение к виду: (4)

Получаем 2L= n+m+1 уравнений для определения n+m+1 коэффициентов. Решая эти уравнения, получаем оценки коэффициентов ПФ (1).

Выделяем действительную и мнимую части, которые являются формулами неизвестных коэффициентов.

(5)

2. Формулы для вычислений и свойства полных и дробных факторных планов для линейных моделей.

а) Формулы для расчета

Множество всех точек в – мерном пространстве, координаты которых являются +1 (+) или -1 (-), называется полным факторным планом или планом полного факторного эксперимента (ПФЭ) типа . Число точек в этом плане . При , равном 1, 2 матрицы планирования для факторных планов имеют вид (неповторяющиеся опыты).

Матрица планирования факторного плана может быть получена с помощью матрицы плана по формуле Полный факторный эксперимент обладает свойствами:

ортогональности. Сумма парных произведений элементов любых двух различных столбцов равна нулю. В частности, для простых переменных

симметричности. Сумма всех элементов любого столбца, за исключением первого, равна нулю, например

нормированности. Сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов, так для i-й переменной .

Если полный факторный эксперимент удовлетворяет этим трем условиям, то оценки коэффициентов регрессии являются независимыми величинами, и дисперсия ошибок определения оценок определяется: , -- дисперсия ошибки наблюдения выхода объекта (дисперсия случайной составляющей).

Дробные факторные планы:

План, включающий только половину экспериментов ПФЭ, называется полурепликой, включающий четвертую часть опытов – четверть репликой и т. д. Краткое обозначение указанных дробных реплик – 2^n-1, 2^n–2.

Правило построения дробных факторных планов ДФП типа : основных факторов ПФЭ

ДФП типа строится след. образом. Из n факторов выбирают основных факторов. На них строится ПФЭ с матрицей . Этот план затем дополняют столбцами, соответствующими оставшимся факторам. Эти столбцов формируются на основании алгоритмов, которые называют генераторами плана.

Генератор плана представляет собой произведение основных факто­ров, определяющее значение элементов каждого из дополнитель­ных столбцов матрицы плана. Для формирования каждого из столбцов используют свой генератор плана. Это произведение включает в себя от 2 до факторов. Для построения требуется генераторов.

б) свойства

Матрица F для плана типа ( строк. столбцов) (исольз. 3 фактора).

Строим реплику:

Число оцениваемых коэффициентов 4, число опытов 4.

Найдем информационную матрицу:

М является диагональной матрицей с одинаковыми диагонаольными элементами = числу опытов ДФП.

Для дисперсионной матрицы получаем: .

Найдем оценки коэффициентов модели (принимаем во внимание вид дисперсионной матрицы):

-- строки,

-- скалярное произведение 2-х векторов.

Тогда можно оценить коэффициенты регрессии модели:

.

После определяем точность оценивания коэффициентов. Она характеризуется дисперсией оценок коэффициентов . Для этого находят ковариационную матрицу ошибок измерения коэффициентов:

Видно, что ковариационная матрица диагональная, т.е. коэффициенты модели не связаны др. с др. Точность измерения, определяемая этой формулой выше, зависит от числа опытов (все коэффициенты определяются с одинаковой точностью).

.

Фактически, при планировании эксперимента задаются ошибкой измерения коэффициентов, и на основе этого определяют необходимое число опытов.

-- дисперсия ошибки наблюдения выходного сигнала объекта. Ее сложно определить, поэтому ее заменяют оценкой. Оценка вычисляется на основе остатков.

Билет №16. 1. Частотный метод определения коэффициентов ПФ объекта .

Модель ОУ представлена ПФ (1)

_, - частоты гарм сигналов.

Оценить два коэффициента a₀ , a₁. На вход надо подать гармонические воздействия одной частоты :

.

Перейдем от ПФ (1) к АФХ модели: :

(7)

(8)

В результате преобразований левую часть представим в виде комплексной величины:

.

Получаем 2 уравнения с 2 неизвестными:

(9)

Решение можно получить с помощью МНК – оценок. Запишем (9) в векторной форме. Введя вектор оцениваемых коэффициентов ,

вектор измерений АФХ объекта .

Матрица наблюдений:

– псевдорешение, (10)

– МНК оценки коэффициентов.