2. Оценка состояния объекта по результатам измерения выхода оу, фильтр с конечной памятью.

Объект описывается моделью переменных состояний:

Чтобы осуществить идентификацию необходимо определить элементы матриц A, B, C. Необходимо иметь наблюдения за выходом и данные о состоянии объекта в различные моменты времени. Не все переменные состояния измеримы.

Возникает задача оценки состояний объекта по измеряемому выходу. В результате наблюдений за объектом с одним входом и выходом в дискретные моменты времени получаем массивы данных о входе/выходе объекта. Требуется найти способ измерения состояний объекта.

Решение:

Переходим к дискретному времени. Непрерывные объекты описываются разностными уравнениями движения:

– уравнение состояния.

– уравнение выхода.

.

При наблюдении за выходом объекта установлено, что на конечном интервале наблюдений выходной сигнал представляется в виде ряда Тейлора с n элементами. Разложим выходной сигнал на интервалы в ряд Тейлора в окружности текущих наблюдений t.

(6)

Разложение (6), которое примерно описывает выход объекта будем считать моделью выходного сигнала.

Осуществим переход к дискретному времени

– период дискретизации, m – текущее дискретное наблюдение выхода

В результате (6) (7):

(7)

введем в рассмотрение оценку векторов состояний объекта

m- компонент из выхода u (m-1) производных.

Модель (7) запишем в (8):

(8)

– элементами вектора являются соответствующие коэффициенты правой части (7).

Выход объекта и модель выходного сигнала отличаются друг от друга ошибкой идентификации. Выход можно выразить через модель и ошибку идентификации:

Если , – память фильтра, то данное соотношение можно записать в развернутой форме для всех значений :

Систему из соотношений можно записать в векторной форме (9):

(9)

где

– вектор измеренных значений выхода на интервале величиной .

– вектор ошибки идентификации.

– блочная матрица коэффициентов, число строк равно памяти фильтра.

Для упрощения будем считать, что ошибки идентификации – белый дискретный шум, т.е. их значения некоррелированны.

Находим вектор ошибки идентификации:

Составим квадратичный критерий идентификации и оценку состояния объекта выбираем такой, чтобы критерий идентификации стремился к минимуму:

(10)

В результате приходим к оптимизации задачи (10) – нахождения векторного произведения по оценке и приравниваем её к нулевому вектору:

Решая последнее уравнение относительно оценки, получаем ее значение:

(11)

Выражение (11) описывает алгоритм фильтра с конечной памятью l и

ли фильтр со скользящим окном, размер памяти определяет время переходного процесса.

Пока память фильтра не заполнена данными. Он находится в переходном режиме

0

Происходит выталкивание последнего элемента и заполнение следующим.

Билет 14 1. Идентификация нелинейных непрерывных ОУ: модель Гаммерштейна

ОУ описывается нелинейным ДУ вида (1):

где – i- я производная выхода; – j- я производная входа;

– нелинейная скалярная функция, подлежащая идентификации по наблюдениям входа и выхода объекта .

Модель Гаммерштейна

Модель с одним входом и одним выходом.

y(t)

z(t)

v(t)

Это тот случай, когда нелинейный динамический объект можно представить в виде последовательного соединения нелинейного безинерционного звена со статической характеристикой F и линейного динамического звена с весовой функцией . На входе такой модели входное воздействие , – оценка выхода объекта (выход модели). (16)

Задача идентификации включить оценку двух функций и .

Покажем, что статические характеристики безинерционного элемента хорошо аппроксимируется степенным рядом (17):

(17)

Весовую функцию линейного динамического звена разлагаем по системе известных функций :

Подставляя (17), (18) в (16), получаем:

Введя обозначения получим (19):

где .

получим:

Задача – оценка коэффициентов h.

– ограниченны временем регулирования.

Вводим критерий идентификации: