2. Составить дробный факторный план (четверть реплики) для модели

Билет №11. 1. Некорректность задачи идентификации, регуляризующие алгоритмы оценки весовой функции, оценка импульсной функции при входном «белом» шуме.

Задача идентификации считается корректно поставленной, если решение (3) и (13) существует при заданных корреляционных функциях, и это решение единственное и устойчивое.

Величина заданной идентификации является некорректной, то в результате решения (3) и (13) получается следующая весовая функция:

-весовая функция объекта

Простейшим методом, обеспечивающим корректность задачи, является регуляризация. В критерий идентификации добавляется дополнительное слагаемое с коэффициентом регуляризации : И ищутся дискреты весовой функции, которые обращают критерий в минимум. Введение этого слагаемого делает задачу корректной, но решение, получаемое, имеет тенденцию смещения к оси абсцисс.

Можно использовать другие слагаемые, которые оказывают сглаживающее действие (рис.б).

Выбирая число отсчетов весовой функции m на интервале наблюдений (переходного процесса). Эта величина определяется по теореме Котельникова. ,где – максимальная частота спектра весовой функции , которую можно приближенно определить из условия

Аналитический анализ показывает, что при этих пред­положениях число m не превышает m = 22.

Пример. Проиллюстрируем эффект регуляризации в зада­че определения весовой функции объекта .

Пусть корреляционная функция входа объекта имеет вид: .

Рис. Поведение весовой функции объекта w(t) и ее оценок.

Если входной сигнал объекта является белым шумом, корреляционная функция которого содержит функцию: .

то выражение (3) принимает вид:

Оценка весовой функции пропорциональна взаимной корреляционной функции входа/выхода. Это свойство можно использовать на практике, если ко входным воздействиям подмешивать белый шум, некоррелированный со входом : .Тогда на основе интеграла свертки: ,

Обе части умножаем на смещенный белый шум и подвергаем операции математического ожидания:

2. Планы для квадратичных моделей, постановка задачи. Ортогональный центральный композиционный план второго порядка: структура плана, свойства плана.

ОУ имеет 1 выход и n входов (факторов) и описывается квадратичной моделью вида

-- скаляр, -- скалярное произведение, -- квадратичная форма относительно матрицы C.

Полный квадратичный полином при n=2 содержит 6 членов.

n=3 – 11 членов

Для получения квадратичной зависимости каждый фактор должен фиксироваться как минимум на трех уровнях.

Пример:

Дополнительные факторы по формуле:

Альтернативой планам с варьированием факторов на 3-х уровнях являются композиционные планы, основой которых является полный факторный эксперимент вида . К этим опытам добавляются другие фрагменты, содержащие опыты в центре плана и опыты в «звездных» точках. Эти планы позволяют использовать информацию, полученную при реализации линейного плана .

Область планирования должна:

-- включать область планирования планов первого порядка и дополнительные точки (такие планы называют композиционными);

-- не выходить за пределы единичного гиперкуба, т.е. для всех точек плана выполняется условие

-- не выходить за пределы единичного гипершара, определяемого соотношением таких значений факторов в плане, что .

Ортогональный центральный композиционный план второго порядка.

В ОЦКП входят: ядро - план ПФЭ с Nij = 2n точками плана, n0 (одна для этого плана) центральная точка плана и по две “звездные” точки для каждого фактора

, – плечо “звездных” точек.

Общее количество точек в плане ОЦКП составляет , где для ОЦКП n0=1.

При n > 2 в ОЦКП оказывается меньшее количество точек, чем в плане ПФЭ 3n .

n	2	3	4	5	6
ОЦКП	9	15	25	43	77
ПФЭ 3n	9	27	81	243	729

Ортогональность плана:

Симметричность:

Преобразование элементов осуществляется в виде

, где а – величина, зависящая от числа факторов.

Сумма элементов столбца, соответствующего квадратам факторов

Откуда

Условие ортогональности для столбцов и

После преобразований получаем

Принимая во внимание , разделим на N обе части последнего выражения. Получим

Для упрощения этого выражения рассмотрим формулу для определения а: . Заменим в формуле (2) на

, .

Плечо звездных точек . (3)

При n=3 ,

.

Билет №12. 1. Условие идентифицируемости автономной динамической системы.

Рассмотрим автономную динамическую систему, которая описывается моделью в переменных состояниях

(1)

Определить: При каких условиях можно измерить матрицу динамики , если объект наблю­даем и все его состояния измеримы.

Решение. Перейдем к дискретному времени ( -период дискретизации), так как состояния измеряются в дискретные моменты времени.

– допредел значения.

Получим: (2)

Дискретная модель представлена разностными уравнениями состояния.

Так как объект автономный, то он совершает движения под воздействием ненулевых начальных условий. Измеряем состояния:

Совокупность измерений состояний записывается в матричном виде:

(3)

Правый сомножитель (3) обозначим через B: -

Объект называется идентифицируемым, если матрица B – неособенная матрица (условие идентифицируемости).

Неособенная матрица – квадратная матрица А порядка n, определитель |А| которой не равен нулю. Всякая Н. м. имеет обратную матрицу.

Если это так, то из (3) следует оценка матрицы динамики: (4)

Условие идентифицируемости позволяет оценивать элементы матрицы динамики А.