2. Линейное прогнозирование состояния од: точечный прогноз

Задача прогнозирования состояния работоспособности в общем случае заключается в следующем: по результатам диагностирования объекта в предшествующие моменты времени необходимо оценить его работоспособность в последующие периоды функционирования.

1 группа – процессы вызывающие внезапное (катастрофическое) изменение технического состояния.

2 группа – процессы, приводящие к постепенному изменению состояния.

В общем случае процесс изменения состояния объекта можно представить в виде – все вектора (1)

Составляющая (характеризует в объекте необратимые изменения) определяет закономерность изменения процесса – детерминированная часть; (обратимые изменения и ошибки измерительных цепей) характеризует стахастическую часть процесса (случайную составляющую).

Линейное прогнозирование постановка задачи:

Состояние ОУ характеризуется вектором диагностических параметров. В общем случае число таких параметров равно n. Рассмотрим прогнозирование одного диагностируемого параметра . Диагностический параметр измеряется в дискретные моменты времени, разделенные периодом , наблюдение осуществляются в течении N периодов , N – текущий период времени.

Вектор наблюдений включает N значений данного диагностического параметра: Последовательность _– временной ряд.

Задача заключается в поиске наилучшей оценки ненаблюдаемой величины , m>N, по результатам измерений .

Решение: Прогнозированное значение ряда будем искать в классе линейных операторов, позволяющих представить: (2) где – пока неизвестный N- мерный вектор весовых коэффициентов. Задача определить .Введем в рассмотрение ошибку прогнозирования: (2а) где – неизвестен. Модель тренда: (3)

Функции – известны, коэффициенты неизвестны.

(3а)

Тогда измерения (значения временного ряда): (4)

(4) можно записать в векторной форме (4а): (4а) Где

– значения временного ряда

Тогда с учетом (4а) ошибка прогнозирования: (4б)

Допущение: будем полагать, что модель тренда (3) введенная выше на отрезке справедлива и на множестве (за его пределами). Это позволяет представить измерение в виде: – случайная составляющая где _. В результате после приведения подобных получаем (5): (5)

О векторе весовых коэффициентов ничего не известно, поэтому потребуем, чтобы: (6)

где 0-нулевой (n+1) вектор. Число неизвестных N, число уравнений (n+1). Так как n+1<N, то система имеет бесконечное число решений.

Чтобы выйти из этой ситуации, потребуется, чтобы весовые коэффициенты вектора обращали в минимум дисперсию ошибки.

Вычислим дисперсию ошибки прогнозирования

(7)

при условии _. Соотношение (7) описывает задачу условной оптимизации (нахождения вектора , который минимизирует дисперсию).

Для аналитического решения задачи используется функция Лагранжа, которая включает в себя взвешенные суммы исходной целевой функции (7) и ограничения:

- вектор неопределенных множителей Лагранжа. Необходимые условия рассматриваемого условного минимума:

Решение

Прогноз для момента времени : (9)

- выражение для определения МНК оценок коэффициентов тренда Прогноз : – точный прогноз.

Точность оптимального прогнозирования определяется минимальным значением дисперсии (7), которая в случае (9) оказывается равной:

(10) – дисперсия ошибки измерения диагностического параметра.

Билет №10. 1. Линейное прогнозирование состояния ОД: доверительные интервалы.

Задача прогнозирования состояния работоспособности в общем случае заключается в следующем: по результатам диагностирования объекта в предшествующие моменты времени необходимо оценить его работоспособность в последующие периоды функционирования.

Процессы изменения технического состояния объектов представляет собой процессы старения и деградации, приводящие к отказу изделия.

Причины, вызывающие отказы и определяющие механизм изменения технического состояния объектов:

• Конструктивные причины (несовершенство конструкции изделия);

• Технологические причины (нарушение принятой технологии или ее неоптимальность);

• Эксплуатационные (нарушение правил эксплуатации);

• Старение и износ, приводящий к тому, что даже изделия высокого качества (с хорошими конструкцией и технологией, правильной эксплуатацией) отказывают с течением времени.

1 группа – процессы вызывающие внезапное (катастрофическое) изменение технического состояния.

2 группа – процессы, приводящие к постепенному изменению состояния.

В общем случае процесс изменения состояния объекта можно представить в виде

– все вектора (1)

Где составляющая характеризует в объекте необратимые изменения, – обратимые изменения и ошибки измерительных цепей.

Составляющая определяет «тренд» или закономерность изменения процесса – детерминированная часть; характеризует стахастическую часть процесса (случайную составляющую).

Постановка задачи:

Состояние ОУ характеризуется вектором диагностических параметров. В общем случае число таких параметров равно n. Рассмотрим прогнозирование одного диагностируемого параметра . Диагностический параметр измеряется в дискретные моменты времени, разделенные периодом , наблюдение осуществляются в течении N периодов , N – текущий период времени. Вектор наблюдений включает N значений данного диагностического параметра: Последовательность _– временной ряд.

Задача заключается в поиске наилучшей оценки ненаблюдаемой величины , m>N, по результатам измерений . Решение:

Кроме точного прогноза используется интервальный прогноз, который представляет доверительные интервалы. Дисперсия неизвестна, используется оценка дисперсии:

где - строка матрицы F.

Оценка дисперсии (10): (11)

Определяется интервальная оценка (доверительные интервалы):

(12) где - значение распределения Стьюдента с N-n-1 степенями свободы и уровнем значимости .

Выражение (12) показывает, что с вероятностью 0,95 действительные значения процесса в момент времени не выйдет за указанные границы. - точечные значения прогноза.

Алгоритм прогнозирования существенно упрощается, если матрица удовлетворяет условию ортогональности. Используя общий результат (9), несложно найти: