Лекція 2 Застосування теорії системи в тк. Аналітичне визначення системи

(2.1)

Системою називається відображення на не порожніх (абстрактних) множинах, де – це символ прямого входу, – елемент системи з індексом і, – множина індексів.

Множина являє собою деяку сукупність чогось.

Для скінченної множини елементів відображення (2.1) можна записати так:

(2.2)

Виходячи з (2.2) стає очевидним визначення системи, як множина елементів , що знаходиться у взаємодії один з одним.

Відкритими називаються системи, в яких прямує до , вони пов’язані із зовнішнім середовищем, вхідними і вихідними каналами. Замкнені системи таких каналів не мають.

Для відкритих систем, що мають входи з множиною х, які записуються так:

та виходи з множиною y, які можна записати так:

через входи надходять впливи, а через виходи спостерігаємо реакцію системи.

(2.3) – більш конкретне визначення системи.

Систему (2.3) називають системою вхід (вихід) або «чорним ящиком». Дослідників цікавить реакція на виході такого «чорного ящика» на вплив, що надходить на його вхід.

Елементи системи , , , можуть бути більш-менш однорідними, як наприклад вузли зв’язку або неоднорідними змішаними – це елементи гібридних ТК систем, мережні елементи.

Ентропія –

Елементи системи можуть знаходитися в різній взаємозалежності. Якщо вони один від одного незалежні, то їх спільна невизначеність характеризується ентропією, що є сумою ентропій конкретного з елементів.

Загальними визначеннями системи з n- незалежних елементів записуємо так:

Якщо елементи і залежні, то:

– умовна ентропія

, тобто взаємна невизначеність залежних елементів є меншою порівняно з незалежними. Отже, і невизначеність цілісної системи із залежними елементами є меншою ніж з незалежною. Іншими словами, за наявності взаємозв’язку між елементами система стає більш організованою з більш упорядкованими відношеннями.

Розглянемо детальніше вираз (2.3), система у вигляді «чорного ящика». У багатьох випадках, структурні системи, наперед апріорій невідомо, або сама система є слабо структурованою. В такому випадку система представляється у вигляді дво-, чотири- або n-полюсника з відповідними входами і виходами

В цій системі вивчаються впливи вхідних сигналів на вихідні , тобто причинно-наслідкові зв’язки без конкретизації і внутрішньої структури.

При найпростішому поданні можна записати, що цей зв’язок може бути

або лінійний:

або нелінійним: ,

де та , носить назву передавальних функцій системи .

Це скалярні моделі системи. Її узагальненням є векторна модель з n-входів та m-виходів. Найбільш поширеною є векторна модель з двома входами і двома виходами.

S(t)

Така модель носить назву модель чорного ящика з S матрицею. Подається вона так:

У векторному вигляді:

За допомогою S-матриці можна моделювати різноманітні системи об’єкти або явища, наприклад електрична схема, пристрій, канал зв’язку. В цьому випадку S-матриця носить назву матриці розсіювання, а вхідні та вихідні компоненти, розглядаються як ортогональні поляризовані складові електромагнітного поля. При цьому елементи характеризують коефіцієнти передавання по крос поляризації (вплив рівня сигналу, що передається з горизонтальною поляризацією на рівень вертикальної поляризації). Елементи матриці коефіцієнт передачі на відповідній поляризації одного напрямку і орієнтації.

Перекачка енергії між поляризаційними складовими дається елементами матриці , .

Система S називається статичною без інерційною тоді і тільки тоді, коли значення її вихідної величини в будь-який момент часу залежить виключно від поточного значення вхідного впливу і початкового стану , з якого почалася еволюція системи, при цьому, якщо змінюються вихідні впливу .

Коли не дорівнює 0, така система негайно переходить у рівноважний стан. З використанням логічних операцій статична система визначається виразом:

який інтерпретується наступним чином: система в якій визначенні значення входів та виходів , тоді і тільки тоді буде статичною системою S,коли існує початковий стан , який належить до безлічі можливих початкових станів і для всіх моментів часу t вихідна реакція визначається початковим станом і вхідним впливом , які забезпечують відображення в цю вихідну реакцію .

Оскільки статична система є без інерційною, у ній відсутні перехідні режими, при дії впливів, що збурюють цю систему на виході.

Статичну систему не слід плутати зі статичним рівноважним станом інерційної або динамічної системи, яка знаходиться в стані спокою, після перехідних процесів, швидкість яких = .

Статичні системи є певною абстракцією реальних систем, яким притаманні динамічні перехідні процеси.

Статичні системи є одночасно системи без пам’яті, тобто системи в яких початковий стан є

Динамічною називається інерційна, нестатична система, в якій визначені функції переходу станів (t) і вихідної реакції , за умови, що .

Стаціонарним динамічним називається клас динамічних систем, стан і структура яких не залежить від того, в який момент часу розглядатиметься виклик. Ці системи інваріантні щодо часового зсуву. Для будь-якого часового зсуву t справедлива рівність:

тобто, для кожного моменту часу можна визначити оператор зсуву , за якого реакція системи на вхідний вплив у момент часу залежить лише від різниці між часом його початку і поточним часом, не від поточного стану.

При цьому t≤  -t≥0

Для статичної системи: , де , a , якщо впливи і реакції є стаціонарними.

Важливою властивістю стаціонарних (інваріантних) у часі систем є те, що функцію переходу стану будь-якого моменту часу, можна одержати як результат застосування оператора зсуву до початкового оператора системи.