13.Основная теорема лп

Если ЗЛП имеет решение, то ЦФ достигает экстрем.знач хотя бы в одной из крайних точек многогр.решений.

Если же ЦФ достигает экстрем.знач более чем в одной крайней точке, явл-ся их выпуклой лин.комбинаций.

Док-во: Пусть Х^*-допуст.реш., для кот.ЦФ достигает своего max знач maxF=f(X^*),тогда

f(X^*) (1)

Если Х^* совп с одной из крайних точек, то перв часть теор док-на.

Предпол, что Х^* не явл.крайней точ, то перв многогр реш. Тогда Х^* можно в виде выпуклой линейной комбин точек Х₁, Х₂,…,Х_к:

В силу лин-ти f(X) имеем

f(X^*)= ₁f(X₁)+ ₂f(X₂)+ …+ f(X_k)

Обозн через М max знач ЦФ среди чсех крайних точек, т.е.

M=max(f(X₁), f(X₂),…,f(X_k)).

f(X*) ₁M+ ₂M+…+ _kM=M

Или f(X*) M (2)

Из нер-в 1 и 2 вывод f(X*)= M

Но М-знач ЦФ в одной из крайн точек, поэтому Х^*совп с одн из них.

Допуст, что f(X)достиг макс знач более чем в одн точке

f(X₁)=f(X₂)= …=f(X_р)=M

Х= , i 0,(i= ,

f(X)= 1f(X1)+ 2f(X2)+…+ _pf(X_p)= 1M+ 2M+…+ _pM=M,

т.е лин ф-я F приним макс знач в произв точке Х, явл-ся выпукл лин комбин-ей точек Х1,Х2,…,Хр, в которой ЦФ F принимает макс знач.

14) Построение начальнопорн плана

Пусть з-ча ЛП представлена с мат огранич в канонич виде ∑а_ijх_j =b_i , b_i ≥0, i=1;m

Огранич-рав-во имеет предпочтит вид, если при неотриц прав части лев часть содерж перемен-ю с коэф-том=1, а в остальн ограничения эта перемен-я входит с коэф-том=0

Сис-ма огранич имеет предпочтительн вид, если кажд огранич-рав-во имеет предпочтит вид. В этом случае легко найти опорн реш( - это базисное с положит координатами)

Для этого все СП надо принять =0, а БП = свободным членам Пусть сис-ма осн огранич имеет вид: ∑а_ijх_j≤b_i , b_i ≥0, i=1;m

С пом-ю добавления клев частям дополн неотриц перемен-х дан сис-му можно привести к канонич виду: ∑а_ijх_j+ х_n+i = b_i , b_i ≥0, i=1;m

Дан сис-ма имеет предпочтит вид и следоват-но нач опорн план можно записать в виде:

Х₀=(0, 0, 0, … , 0, b₁, b₂, … , b_m)

15) Признак оптим опорн плана. Симплексн таблица Люб з-чу ЛП можно свести к виду:

maxF=∆₀ - ∑∆_jx_j

x_i+∑α_ijx_j = b_i, i=1;m

x_j≥ 0, j=1;m

Для реш з-чи запис в симплексн таблицу

Посл строку наз-ют индексн строкой или строкой ЦФ. ∆₀= С_бβ=F(X₀) – значение ЦФ для нач опорн плана Х₀; ∆_j=С_бA_j-C_j, j=m+1;n–оценки СП

Реш з-чи:1) Если з-ча на max, то план оптимальн, если ∆_j≥0, j=1;n; 2) Если з-ча на min, то план оптимальн, если ∆_j≤0, j=1;n

18.Теор:Если в идек-й строке симплек табл сод-щий опт план имеется хотя бы 1 нулевая оценка соот-я СП,то задача ЛП имеет бескон-е мн-во опт-х планов.

След-е:Если в индекс-й строке симпл-ой табл сод-я опти-й план все оценки СП полож-ны, то найд-й оптим-й план единст-й

19. Теор:Если в индеек-й строке симплек-й табл задачи ЛП на max содер-я отриц оценки,а в соот-ем столбце нет ниодного полож-о эл-та,то ЦФ на мн-ве допуст-х планов задачи неогран-на сверху.

Теор: Если в индеек-й строке симплек-й табл задачи ЛП на min содер-я полож-е оценки,а в соот-ем столбце нет ниодного полож-о эл-та,то ЦФ на мн-ве допуст-х планов задачи неогран-на снизу.