1.Мат. Прогр-е – область прикладной математики, разраб-щая теорию и численные методы решения многомерных, экстрем-х задач с ограничением, т.е. задач на экстремум ф-ции многих переменных с ограничением на область измен-я этих переменных. ЭММ –система мат. Ф-ций, уравнений, неравенств, описывающих реал-й эконом-й объект, сставляющие его характ-ки и взаимосвязи м-ду ними. Модель задачи МП можно записать в виде: max (min)F = f(x₁,x₂,…x_n), (1); ϕ_i (x₁,x₂,…x_n) { ≤, =, ≥} b_i, i=1,m. (2); x_j ≥ 0, j =1,n. (3) . 1 – ЦФ-показатель эффективности, критерий оптимальности. В качестве ЦФ мб прибыль, объем выпуска или реализации, отходы и т.д.; 2 – основные;3 – прямые ограничения. Матем-ки ограничения запис-ся в виде уравн-й и нерав-в, сов-ть которых образ-т ОДР. Сов-ть независимых величин Х=( x₁,x₂,…x_n), действуя на которые систему можно совнршенств-ть, наз. планом задач. План Х, удовлетворяющий основным и прямым ограничениям наз-ся допустимым. Допустимый план, доставл-щий ЦФ экстрем. значение наз. оптимальным и обознач-ся Х*. Аналогично экстр. Значение ЦФ обознач-ся F*=F(X*). В завис-ти от свойств ф-ций f и ϕ_i (i=1,m) МП можно рассматривать как ряд самост. величин. Задачи МП делятся на задачи линейного и нелинейного прогр-я. Среди задач нелин. пр-я наиболее глубоко изучены задачи выпуклого программ-я, в рез-те реш-я которых опред-ся min выпуклой (max вогнутой) ф-ции, заданной на выпуклом замкнутом множ-ве. Отдел-ми класс-ми задач явл. задачи целочисл-го, параметрич-го, дробнолин-го прогр-я. В з-х целоч. прогр-я на искомые перемен-е налаг-ся усл-е целочисл-ти, а ОДР конечное. В з-х парам. прог-я ЦФ или ф-ции, опред-щие ОДР либо то и другое зависят от некоторого параметра. В з-х дробнолин-го пр-я ЦФ предст-т собой отнош-е 2-х лин-х ф-ций. Выдел-т также з-чи стохастического и динам-го прогр-я. В з-х дин-го пр-я процесс нахождения реш-я явл-ся многошаговым. В з-х стохаст-го пр-я в ЦФ или в ф-ях из ОДР содерж-ся случ-е величины.

2.Задачи МП деляться на линейного и нелин-го программ-я. Выд-т задачи: целочисленного,параметрического, дробно-линейногопрог-я. Парамет-го прог-е ЦФ и ф-ции опред-щие ОДР зависят от некот-х параметров. В задачах др-линейного пр-я Цф пред-т собой отношение 2-х линейн-х ф-ции. Выд-т задачи: стохостического, динамического пр-я. В задачах динамин-го пр-я процесс нахождения решения явл. многошаговым.

3.ЛП – раздел МП, в котором разраб-ся методы нахождения экстр-ма лин-х ф-ций при лин-х дополн-х огранич-ях, налаг-мых на эти перемен-е.

зад.о.наилуч.исп.рес-в

n-прод-и; m-рес-сы; c_j,j=1,n – цена ед-цы прод. j-го вида; b_i,i=1,m – кол-во i-го рес-са; a_ij, j=1,n, i=1,m – кол. i-го рес-са, необход. для пр-ва прод-и j-го вида.Треб-ся опр-ть план пр-ва кажд.прод-и X*=(x₁*,x₂*…x_n*), при кот. обесп-ся max-ая выручка.

Цена общего V реал-ии:F=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n.

Расход на пр-во всех n видов прод-и не должен превышать b_i: a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n≤b_i, i=1,m.

Усл-е неотриц-ти:x_j≥0, j=1,n.

ЭММ:maxF=

x_j≥0

4.Зад.О.Диете

n - кол-во прод-ов питания;m – питат-е вещ-ва; c_j,j=1,n – цена ед-цы прод-та; b_i,i=1,m – min-е кол-во i-го полезного вещ-ва; a_ij, j=1,n, i=1,m –содерж-е i-го вещ-ва в ед-це j-го прод-та.Треб-ся опр-ть кол-во приобретения кажд. вида прод. X*=(x₁*,x₂*…x_n*),обесп-е необх.кол-во полез.вещ-в при min-ой общей стоим-ти прод-в питания.

ЭММ:minF=

x_j≥0

5.Задача о выборе оптимальных технологий. В зада­че о наилуч использ рес-ов опред-ся опти­м-ый план выпуска продукции. Пусть при произ-ве какого-то общественно необход продукта использ-ся n технологий. При этом треб-ся т видов рес-ов, задан­ных объемами b_i (i = 1, m). Эффек-ти технологий, т. е. кол-во конечной продукции (в ден. ед.), производ в ед. времени по j-й (j= 1,n) технологии, обозначим c_j. Пусть, далее, а_ij- — расход i-го ресурса в единицу времени по j-й технологии. В качестве неизвестной величины x_j при­мем интенсивность использ j-й технологии, т. е. вре­мя, в течение которого продукция произв-ся по j-й техно­логии. Пренебрегая временем переналадок, необход для перехода от одной технологии к другой, получаем следующую математическую модель задачи: найти план интенсивностей использования технологий х = (x_i;... ;х_n), обеспеч-ий макс выпуска прод в стоим-ом выраж: ∑a_ijx_j≤b_i (i=1,m) при огранич -ях на лимит-е ресурсы: max Z= ∑c_jx_j и условии неотрицательности: x_j≥0 (j=1,n).

6.Задача о раскрое материалов. Суть задачи об опти­м-ом раскрое состоит в разраб-ке таких техн-ски допуст планов раскроя, при кот получ-ся необ­ход комплект заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) свод к минимуму. Рассмо­трим простейшую модель раскроя по одному измерению. Бо­лее сложные постановки ведут к задачам целочисл про­грамм-ия. Модель задачи раскроя по одному измер длинномер­ных материалов (прутков, труб, профильного проката и др.) может быть сформул так. Пусть имеется N штук ис­ходного материала, длина каждой штуки равна L. Нужны заготовки т видов, длины которых равны L_i (i = 1,n). Из­вестна потреб-сть в заготовках каждого вида, она равна b{. Изучение вопроса раскроя (построение технол-ой кар­ты раскроя) показ-ет, что можно выделить n приемлемых вариантов раскроя исход матер длиной L на заго­товки длиной Zj. Обозначим через aij количество заготовок i-го вида, получаемое при раскрое единицы исходного мате­риала по j-му (j=1,n) варианту, Cj — отходы при раскрое единицы исходн матер по j-му варианту. План задачи х = (х₁;... ; x_j ... ;х_n), где xj — количество единиц исходно­го материала, планируемое к раскрою по j-му варианту.Функция цели — мин отходов, получ при рас­крое: min Z = ∑c_jx_j при огранич: на число ед исх матер: ∑x_j≤N

8. Геом интерпр-ия задачи лп с несколькими переменными.

Перейдем к геометрической интерпретации ЗЛП с несколькими переменными.

max F = , (1)

b_i, (i= ), (2)

x_j 0, (j= ). (3)

Множ-во реш Х = (х₁,х₂,…,х_n), компоненты кот удовл-ют огранич-ю- равенству a_i1x₁ + a_i2x₂ +… + a_inx_in = b_i, (i= ), геом-ски пред-ют собой гиперплоскость n-мерного пространства. Это выпуклое множ-во.

Множ-во реш Х = (х₁,х₂,…,х_n), ком-ты кот удовл-ют нер-ву a_i1x₁ + a_i2x₂ +… + a_inx_in b_i, (i= ),образ полупрос-во n-мерного простр-ва, кот также явл выпуклым множ-вом.

Множ-во реш, удовл-их системе огранич задачи ЛП (2), (3) предст собой пересечение конечного числа полупространств и поэтому явл выпуклым. Теорема:Множ-во реш ЗЛП выпукло (если оно не пусто). Множ-во реш задачи ЛП в практически важных случаях чаще всего предст-ет собой либо выпуклый многогранник, либо выпуклую многогранную область. ЦФ (1) геом-ки можно рассм как семейство паралл гиперплоскостей с₁x₁ + с₂x₂ +… + с_nx_n =F, каждой из кот соот-ет опред знач параметра F. Вектор = (с₁; с₂; …;с_n), перпенд-ый к гиперплоскости F=const, указ направл наискорейшего возраст функции F. С учетом сказ задача (1)-(3) геом-ки свод. к нахождению точки Х^* = (х₁^*,х₂^*,…,х_n^*) многогранника, опред нерав-ми (2), (3), через кот проход гиперплоскость семейства (1), соот-щая наиб знач F. Граф методом можно решить ЗЛП с n>2 перем, если в ее канон-ой записи число неизв n и число линейно-независ векторов m связ соотнош-ем n-m 2.