1.8.2 Символический метод расчета цепей

синусоидального тока

Сущность метода состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и э.д.с. Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном по законам Кирхгофа для установившегося процесса, заменяют:

- мгновенное значение тока i комплексной амплитудой тока Ĭ_m ;

- мгновенное значение напряжения на активном сопротивлении Ŭ_Rm= RĬ_m ,

т.е. комплексом, по фазе совпадающим с током Ĭ_m ;

- мгновенное значение напряжения на индуктивности u_L = L (di / dt)

комплексом Ĭ_m jωL, опережающим ток на 90⁰;

- мгновенное значение напряжения на емкости u_c = (1/C) ∫ i dt комплексом

Ĭ_m (- j / ωC), отстающим от тока на 90⁰;

- мгновенное значение э.д.с. е - комплексом Ě _m.

Амплитуда падения напряжения на индуктивности равна произведению амплитуды тока на величину Х_L = ω L (где Х_L - индуктивное сопротивление).

Множитель j свидетельствует о том, что вектор напряжения на индуктивности опережает вектор тока на 90⁰.

Амплитуда падения напряжения на емкости равна амплитуде тока, умноженной на емкостное сопротивление Х_С = 1/ ωC.

Отставание напряжения на емкости от протекающего по ней тока на 90⁰ объясняет наличие множителя – j.

Например, для схемы рис. 1.7 уравнение для мгновенных значений напряжений на основании второго закона Кирхгофа имеет вид

Рисунок 1.7 – Цепь синусоидального тока

u_R + u_L + u_C = е,

или

i R + L (di/ dt) + (1/C) ∫ i dt = е .

В комплексной форме записи

Ĭ_m R + Ĭ_m j ω L + Ĭ_m (- j / ω C ) = Ě_m .

В этом выражении:

-Ĭ_mR – комплексная амплитуда падения напряжения на активном сопротивлении R;

- Ĭ_m j ω L - комплексная амплитуда падения напряжения на индуктивности L;

- Ĭ_m (- j / ω C ) – комплексная амплитуда падения напряжения на емкости С.

Вынося Ĭ _m за скобку, имеем

Ĭ _m ( R + j ω L - j / ω C ) = Ě _m. (1.28)

В этом выражении величина Z = R + j ω L - j / ω C имеет размерность сопротивления и называется сопротивлением цепи в комплексной форме записи (комплексным сопротивлением).

Из выражения (1.28) можно записать

Ĭ _m = Ě _m / ( R + j ω L - j / ω C ). (3.29)

Выражение (1.29) представляет собой закон Ома в комплексной форме записи.

Как указывалось выше, множитель ( R + j ω L - j / ω C ) в уравнении (1.28) представляет собой комплекс, имеет размерность сопротивления и обозначается Z.

Z = R + j ω L - j / ω C = z e ^{j φ} ,

где Z имеет некоторую действительную часть и некоторую мнимую часть

Z = ( R + j Х ),

где R - активное сопротивление;

Х - реактивное сопротивление, Х = ω L – (1 / ω C).

Комплексная проводимость - величина, обратная комплексному сопротивлению Z :

Y = 1/ Z = g – j b = y e ^{- j φ},

где g - действительная часть;

b - мнимая часть.

Проводимость измеряют в Ом^-1, или сименсах (см).