1.2 Уравнения Максвелла

Первое уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму закона полного тока:

= i _полн

В дифференциальной форме запись первого уравнения Максвелла имеет вид

rot H = γЕ + dD /dt,

или для сред с постоянной диэлектрической проницаемостью,

где ε_a = ε₀ ε =const,

rot H = γЕ + ε_a dE /dt. (1.2)

Физический смысл уравнения заключается в том, что вихревое магнитное поле возбуждается как токами проводимости, так и изменяющимся во времени электрическим полем.

Второе уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму записи закона электромагнитной индукции, согласно которому в витке при изменении сцепленного с ним магнитного потока Ф наводится э.д.с. , равная

е = - dФ / dt,

Ф= ∫_s BdS,

где B-вектор магнитной индукции, S-площадь поперечного сечения магнитного потока.

Максвелл обобщил этот закон, указав, что изменяющийся во времени магнитный поток возбуждает электрическое поле и при отсутствии витка.

Второе уравнение Максвелла имеет вид

rot E = - dB / dt. (1.3)

Физический смысл его заключается в утверждении, что изменяющееся во времени магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле. Так как rot E ≠ 0, то линии вектора E могут быть замкнутыми, причем они должны охватывать линии вектора В. Для сред с постоянной магнитной проницаемостью второе уравнение Максвелла примет вид

rot E = - μ_а dН / dt, ( 1.4)

где μ_а= μ μ₀ , B= μ_аН, μ₀ = 1.256 ∙10^-6 гн/м – магнитная проницаемость вакуума.

Полная система уравнений электромагнитного поля. Электромагнитное поле характеризуется четырьмя векторами E, D, B, H. Для сред с постоянными диэлектрической и магнитной проницаемостями эти векторы связаны следующими соотношениями:

D = ε ε₀ E ; B = μ μ₀ H.

Поэтому при расчетах достаточно определить только два вектора. Обычно определяют векторы E и H из первого (1.2) и второго (1.3) уравнений Максвелла.

Однако для однозначности решения этих уравнений недостаточно, поскольку вектор по заданному ротору однозначно не определяется. Поэтому необходимо задать еще и дивергенцию (расходимость) векторов E и H.

По теореме Гаусса в дифференциальной форме имеет место уравнение

div E = ρ / ε_a,

где ρ – плотность электрических зарядов в рассматриваемой точке поля.

Основное свойство магнитного поля – его соленодоидальность (divВ=0). При постоянной относительной магнитной проницаемости μ divH = 0.

Полная система уравнений электромагнитного поля для сред с постоянными параметрами (ε_a= ε ε₀ = const и μ_a = μ μ₀ = const) записывается в следующем виде:

rot H = γЕ + ε_a dE /dt ; divH = 0 ;

rot E = - μ_а dН / dt; div E = ρ / ε_a . (1.5)

Система уравнений (1.5) и является системой уравнений Максвелла, описывающей электромагнитное поле.

При решении конкретных задач должны быть учтены начальные и граничные условия. Кроме того, необходимо учитывать и граничные условия при наличии разных сред, поскольку на границе раздела двух сред параметры ε, μ, γ меняются скачком. При этом будет иметь место разрыв непрерывности векторов поля.

Электрическое и магнитное поля связаны непрерывным взаимным превращением и представляют собой различные проявления единого электромагнитного поля, которое находится в движении и несет с собой запас энергии

w_эм = ∫ ε_aE ²dV/2 + ∫ μ_аH ²dV/2 . (1.6)

^{V V}

Для постоянных во времени процессов уравнения поля распадаются на две независимые системы:

для электростатического поля: rot E = 0; div ε_a E = ρ;

для магнитостатического поля: rot H = δ ; div μ_а dН=0.

Выражение (1.6) выражает собой закон сохранения энергии в электромагнитном поле.

Теорема Умова – Пойнтинга. Эта теорема связывает изменение энергии в каком – либо объеме с потоком её через поверхность, ограничивающую этот объем. Теорема записывается в виде соотношения

- Пds = ∫ ε_aE ²dV + dw_эм /dt (1.7)

^{S V}

и формулируется следующим образом:

Поток вектора Пойнтинга, входящий в замкнутую поверхность равен сумме двух мощностей, одна из которых ∫ ε_aE ²dV =p_тепл является мощностью тепловых потерь внутри объема V, ограниченного поверхностью S, а другая dw_эм /dt =p_эм – соответствует изменению энергии электромагнитного поля в этом же объеме.

В формуле (1.7) параметр П = [EH] носит название вектора Пойнтинга .

Мощность тепловых потерь p_тепл всегда положительна. Мощность p_эм , соответствующая изменению энергии электромагнитного поля, может быть и положительной и отрицательной. Если она положительна, то электромагнитная энергия внутри объёма V увеличивается.

Вектор Пойнтинга можно определить, как величину, которая равна энергии, проходящей в 1 сек сквозь поверхность, равную 1 м² , перпендикулярную к направлению П.