2. Есептің қойылуы

Лаплас теңдеуіне шекаралық есептердің қойылуларын көрсетейік (басқа эллиптикалық теңдеулерге осылайша, кейбір өзгерістер болуы мүмкін).

а) Дирихленің ішкі есебі

: ;

б) Дирихленің сыртқы есебі

: ;

шексіздікте регулярлы шешімді анықтау керек.

в) Нейманның ішкі есебі : ;

г) Нейманның сыртқы есебі : шексіздікте регуляр шешімін анықтау керек;

д) Жалпылама (үшінші текті) ішкі және сыртқы есептер:

регуляр функцияны анықтау керек.

1. Анықтама. Лаплас теңдеуінің тек арақашықтыққа – айнымалы нүкте-мен параметрлік нүктеге дейінгі қашықтыққа тәуелді шешімін оның іргелі немесе элементар (қарапайым) шешімі деп атайды.

Лаплас теңдеуінің іргелі шешімдері

1-теорема ( есептің шешімі). Дирихленің ішкі есебінің :

(5.26) шешімі жалғыз.

Дәлелдеу. Кері жориық: - есептің екі шешімі болсын, онда - айырмасы үшін (5.26) есеп түрінде қойылады; ал бұл біртекті есеп максимум қағидасы бойынша .

2-теорема. ( есеп шешімі). Дирихленің сыртқы есебінің:

(5.27) шешімі жалғыз.

Дәлелдеу. нүкте аймақ ішінде жатсын. Инверсиялық түрлендіру бойынша

алмастыру нәтижесінде шекарасы болған шексіз сыртқы аймақты шекарасы болған аймаққа келтіріледі де сыртқы (5.27) есеп Кельвин түрлендіруі бойынша

түрге келтіріп аймақтағы функция үшін Дирихленің мынадай ішкі есебіне келеміз:

,

ал бұл есептің 1-теорема бойынша жалғыз шешімі бар. 2-теорема дәлелденді.

3-теорема. ( есептің шешімі). Ішкі Нейман есебінің :

(5.28)

шешімдері бір-бірінен тұрақты шамаға айырымда болады.

Дәлелдеу. - Нейманның ішкі есебінің шешімдері болсын, онда функция да аймақта гармониялық және

(5.29)

шартты қанағаттандырады.

Енді жоғарыдағы Гриннің бірінші формуласын үшін пайдалансақ, онда теңдігі орынды; ал бұған (5.29) шартты қолдансақ, онда теңдікті аламыз; бұдан үшін, яғни . Теорема дәлелденді.

4-теорема ( есептің шешімдері). Нейман-ның сыртқы есебінің :

(5.30)

шешімі шексіздікте регуляр, үшөлшемді кеңістікте жалғыз, ал жазықтықта бір-бірінен тұрақты шамамен айырмашылықта болады.

8. Шар үшін Пуассон формуласы.

Шардың центірі координата жүйесінің бас нүктесінде жатсын, ал радиусы болсын. Онда сфераның бетінің теңдеуі . Шардың ішкі нүктесіне сәйкес, сфераның бетіне симметриялы радиус векторының бойынан, олардың радиус векторлары болатындай нүктені таңдаймыз. белгілеулер және , , . Үшбұрыштар , себебі ортақ, сәйкес қабырғалары пропорционал болғандықтан, екі үшбұрыштың ұқсастығынан аламыз. Екі жағын дәрежелесек, онда (3.10)

Шар аймақ үшін бірінші шекаралық есептің Грин функциясы

(3.11)

Екеніне көз жеткізу қиын емес. Функция аргумент және бойынша , гармоникалық функция. Нүкте жатса, онда (3.11) теңдіктен . Сонымен Грин функциясының 1-2 шарттары орындалды. Сондықтан Лаплас теңдеуі үшін Дирихле есебінің шешімі (3.5) теңдігінен, яғни

формуламен анықталады.

Сфераға жүргізілген нормаль радиусына бағыттас болатынын ескеріп, нормольды туынды

(3.12)

Сол сияқты (3.13) теңдіктердіалуға болады.

Үшбұрыштар мен косинустар теоремалары бойынша

(3.14)

(3.15)

Формулалар (3.12)-(3.13) және (3.14) - (3.15) пайдаланып, күрделі емес түрленіруден кейін

(3.16)

Пуассон формуласын аламыз. Теңдік (3.16) оң жағында интеграл Пуасон интегралы, ядро Пуассон ядросы деп аталады. Пуассон ядросы мен интегралы мына тұжырымдамада орындалады.

1. нүкте , онда .

2. нүкте , онда ядро аргумент бойынша .

3. Пуассон интералы үшін

(3.17)

теңдік орынды.

Дәлелдуі. Егер шекаралы функция , онда Дирихле есебінің жалғыз шешімі болғандықтан (3.16) формуладан (3.17) теңдікті аламыз.

Теорема. Егерде функция жатса, онда Пуассон интегралымен анықталған - гармоникалық функция және . (3.18)