8.Әлді минимум қажетті шарттары. Лагранж леммасы. Эйлер теңдеуінің бірінші шешімі.

Жай есеп. Мына есепті қарастырайық:

(3)

Функционалын

(4)

жиынында минимумдау керек.

1-анықтама. Егер орындалатын кез келген ұйғарымды функциясы үшін теңсіздігі (мұндағы ) орындалатын саны табылса, онда (5) (немесе (3), (4)) есебіндегі функционалын функциясы әлді локәлдік минимумге жеткізеді дейміз.

2-анықтама. Егер

(6)

орындалатын кез келген ұйғарымды функциясы үшін теңсіздігі орындалатын ε > 0 саны табылса онда (5)-(немесе (3), (4)) есептегі функционалын функциясы әлсіз локәлдік минимумге жеткізеді дейміз.

Әлсіз локәлдік минимумның қажетті шарттары. Мына x(t)U, тиістіліктерден шығатыны .

Демек x(t)U ұйғарымды функциясын түрінде таңдаған жөн, мұндағы - қай бір сан. Сонымен

, h(t)U₀ болғандықтан γ санын тандау арқылы (1), (2) анықтамалардағы теңсіздіктерді қамтамасыз етуге болады. Мәселен F(x, и, t) функциясы аргументтері бойынша екі рет үзіліссіз дифференциалданатын функция делік. Онда

мұндағы x⁰ =x⁰(t)U. Белгілеу енгізейік:

(8)

(9)

Бұдан соң (7) өрнекті келесі түрде жазамыз:

(10)

Жоғарыдағы (8) - формуламен анықталатын J шамасы функционалының нүктесіндегі бірінші вариациясы деп, ал (9)-дағы ²J шамасы функционалының нүктесіндегі екінші вариациясы деп аталады.

1-теорема. Мәселен функциясы функционалын U жиынында әлсіз локәлдік минимумге жеткізсін дейік. Онда келесі шарт орындалуы қажет

J=0, ²J0. (11)

Дәлелі. Кейбір γ саны мен функциясы үшін (6) -теңсіздік орындалсын делік. Мұндағы және . (11) өрнектің ақиқаттығын көрсетейік. Жоғарыдағы (10) өрнектен

мұндағы | | > 0 - жеткілікті аз сан, , ||  0, Осыдан, егер J0, онда таңбасы J -ге қарама қарсы γ санын әрқашан таңдап алуға болады. Бұл шақта .

Бұл шартына қайшы. Демек J=0. Бұдан соң

J=0 болғандықтан Осыдан шығатыны: егер ²J<0 онда жеткілікті аз ||>0 үшін , бұл шартына қайшы. Теорема дәлелденді.

J=0 шартын әлсіз локәлдік минимумның бірінші ретті қажетті шарты деп ал (11) шартын локәлдік минимумның екінпгі ретті қажетті шарты деп атаймыз. (11) - шарт сонымен қатар әлді локәлдік минимум шарты да болады

Лагранж леммасы.(109 бет)

Лагранж леммасы. Егер - үзіліссіз функция және

(12)

онда

Дәлелі. Қарсы жориық яғни кейбір нүктеде .

Мәселен, анықтық үшін сан делік. Онда функциясының үзіліссіздігінен кезінде болатын ε₀>0 саны табылады. функциясын келесі түрде таңдаймыз:

Онда интеграл

Бұл (12) шартына қайшы. Лемма дәлелденді.

Эйлер теңдеуі. Ізделінді функциясы Эйлер тендеуі деп аталатын дифференциаддық теңдеулердің шешімі болатынын көрсетейік. Эйлер теңдеуінің алғашқы қорытылуын Лагранж леммасының негізінде аламыз.

2-теорема. функциясы (5) – есептегі J(x, и) функционалын әлсіз локәлдік минимумге жеткізуі үшін осы функция Эйлер тендеуін:

(13)

қанағаттандыруы қажет.

Дәлелі. Жоғарыдағы (6) - теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін J(x, и) J(x⁰, и⁰) орындалсын дейік. Сонда көрсетілген функциялар (13) тендеудің шешімі екендігін көрсетейік. Шынында да, бірінші ретті қажеттілік шартына сай нүктесіндегі бірінші вариация:

(14)

Бөліктеп интегралдағаннан кейін екінші қосылғыш

түрінде жазылады. Енді (14) өрнегін мына түрде өрнектейміз

Осыдан, Лагранж леммасына орай

десек (13) теңдеу алынады. Теорема дәлелденді. Бойында Эйлер тендеуі орындалатын функциялары экстремәлдар деп аталады.

9. ИЗОПЕРИМЕТРЛІК ЕСЕП. ШАРТТЫ ЭКСТРЕМУМ.

Изопериметрлік есеп. Келесі есепті изопериметрлік есеп дейміз:

(1) (2)

мұндағы аймағында екі рет диф.ды.

1-теорема. Егер ф-сы (1) функционалды (2) ш-да әлсіз локәлдік экстремумге жеткізсе ж/е ол

(3)

функционалының экстремәлі болмаса, онда функциясы

(4)

дифференциалдық тендеуінің шешімі болатын саны табылады.

Дәлелі. нүктелерін таңдап алайық. Мәселен , мұндағы – U -дағы функционалдың әлсіз локәлдік минимум нүктесі, ал

Сондағы (1) - функционалдың өсімшесі

(5)

мұндағы . Байқаймыз: реттері , яғни . ендеше демек

(6)

Теорема шартынан функциясы (3) функционалының экстремәлі емес, демек нүктесін болатындай етіп тандауға болады. Сонда (6)-дан:

(7)

(7)-дегі мәнін (6) өрнектің оң жағына қойсақ:

(8)

мұндағы сан. Сонымен (8) түріндегі функционал өсімшесін қорытқанда шарты ескерілген, яғни ол қарапайым жағдайдағыдай функция өсімшесі, демек

. Осыдан (4) өрнек алынды.

Шартты экстремум. Келесі Лагранж есебін қарастырайық:

(12)

(13)

Басқаша айтқанда функционалын берілген бетіндегі үзіліссіз дифференциалданатын функциялар жиынында минимумдау керек.

3-теорема. Егер функциясы (12) функционалын (13) шарттарда әлсіз локәлдік минимумге жеткізсе және мен туындылары бір мезгілде нөлге айналмаса, онда функциясы

(14)

(15)

дифференциалдық тендеулерінің шешімі болатын функциясы табылады.

Дәлелі. Мәселен , делік (мұндағы ). Сондағы (12) - функционал өсімшесі

(16)

мұндағы - жеткілікті аз сан, әрі сандары оң да теріс те болуы мүмкін, екеуі де ретті, яғни . , ендеше

Осыдан (16) - өрнектің оң жағына мәнін қойсақ:

Осыдан және әлсіз локәлдік минимумның қажетті шартынан :

(17)

Белгілеу енгізсек:

(17)-ден (14), (15) дифференциалдық теңдеулерін аламыз, Теорема дәлелденді.