2. Лагранж функциясы. Қайқы нүкте. Негізгі теорема.
Сызықты емес программалаудың келесі есебін қарастырайық
,
(1)
(2)
мұндағы
-
де
берілген дөңес жиын,
жиынында анықталған, берілген функциялар.
Дербес жағдайда
дөңес
жиынында анықталған дөңес функциялар,
ал
берілген сандар. Бұл
жағдайда (1), (2) есебі дөңес программалау есебіне жатады. Әуелі Лагранж функциясының (1), (2) есебі үшін жазылатын дербес түрін қарастырайық.
1-анықтама.
L
(3)
функциясын (1), (2) есебінің Лагранж функциясы деп атайды.
Егер
L
L
L
,
.
(4)
шарты орындалса,
онда
,
яғни
жұбы (3) -Лагранж функциясының қайқы
нүктесі деп
аталады.
нүктесінде L
функциясы
жиынында минимумға жететіндігін
байқаймыз.
Ал
нүктесінде
жиынындағы L
функциясының максимумын аламыз. Лагранж
функциясының анықталу облысы
жиыны болып табылады.
Негізгі лемма.
жұбы (3) - Лагранж функциясының қайқы
нүктесі болуы үшін
L
L
,
(5)
(6)
шарттары орындалуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелі.
Қажеттілігі.
- жұбы қайқы нүкте делік. Жоғарыдағы
(5), (6) шарттары орындалатындығын
көрсетейік.
жұбы Лагранж функциясының қайқы нүктесі
болғандықтан (4) теңсіздігі орындалады.
Онда бірінші теңсіздіктен (5) шарт тікелей
шығады. Енді (6) теңдіктің ақиқаттығын
дәлелдесек болғаны. (4)-тегі сол жақтағы
теңсіздік
түрінде жазылады. Демек
(7)
теңсіздігі
орындалады. Әуелі көрсететініміз:
.
Мынаған яғни
(8)
векторы
жиынында жататындығына көз жеткізу
қиын емес.
(8)-дегі
мәнін (7) теңсіздігіне қойсақ:
.
Осыдан шығатыны
(өйткені ол барлық
үшін ақиқат). Дәл осылайша
векторы да
жиынында жатады. Сонда (7) теңсіздігінен
алатынынмыз
.
Демек
.
;
өрнектерінен шығатыны
.
векторын келесі түрде таңдаймыз.
Бұл жағдайда (7)
өрнектің жазылуы
.
Мына мәндер
болғандықтан, жоғарыда дәлелдегеніміз
бойынша
,
демек
теңдігі жүзеге асады.
теңдігінен тікелей
шығатыны
.
Қажеттілік дәлелденді.
Жеткіліктілігі.
Қандай да бір
жұбы үшін (5), (6) шарттары орындалсын
делік. Сонда
(3) - Лагранж функциясының қайқы нүктесі
болатындығын көрсетейік. Кез келген
үшін
екендігіне көз жеткізу қиын емес. Шынында
да
,
шартынан барлық
үшін
.
Егер
,
онда
.
жағдайында
себебі
,
демек
.
Ендеше мына қосынды
.
Өйткені:
.
Осыдан шығатыны
Екінші теңсіздік
L
L
түрінде жазылуы мүмкін. Осы теңсіздік
(5)-пен қосылып L
L
L
,
шартын білдіреді. Бұл
жұбы (3) – Лагранж функциясының қайқы
нүктесі деген сөз. Лемма дәлелденді.
Негізгі теорема. Егер жұбы (3) - Лагранж функциясының қайқы күктесі болса, онда векторы (1), (2) есебінің шешімі болады. Яғни
.
Дәлелі.
жұбы үшін (5), (6) шарттарының орындалатыны
негізгі леммадан көрініп. Ендеше
.
Енді (5) теңсіздік былай жазылады:
.
(9)
болғандықтан (9)
теңсіздік дербес жағдайда барлық
орындалады, яғни
.
(10)
Енді 2-шарттан
аңғаратынымыз: егер
онда
және
:
демек кез келген
үшін
.
Ескеретініміз
,
мұндағы
.
Ендеше (10)-нан шығатыны
.
Бұл
нүктесінде
функциясы U жиынындағы глобәлдік немесе
абсолют минимумға жететіндігің білдіреді.
Теорема дәлелденді.