Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
TIIMDILEU ADISI dain 1.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
1.41 Mб
Скачать

22

1. Тегіс функциялардың дөңестігінің критерийлері

1 ан: Кез келген үшін барлық кезінде онда жиыны дөңес деп аталады.

2 ан: -дегі дөңес жиын жиынында анықталған функция болып, кез келген нүктелері үшін барлық кезінде

теңсіздігі орындалса, онда функциясы жиынындағы дөңес функция деп аталады.

1 теорема. Дөңес жиынында функциясы дөңес болуының қажетті де жеткілікті шарты:

(4)

Дәлелі. Кажеттілігі. дөңес дейік. Сонда (1) теңсіздігінен алатынымыз:

Осыдан, ақырлы өсімшелер формуласы негізінде жазатынымыз:

Бұл теңсіздіктің екі жағын да санға бөліп, кезде шекке көшіп, екендігін ескерсек (4) өрнегі шығады. Қажеттілік дәлелденді.

Жеткіліктілігі . Дөңес жиынындағы функциясы үшін (4) өрнегі орындалсын. Онда - да функциясының дөңестігін көрсетейік. дөңес болғандықтан: .

Ендеше (4) теңсіздігінен: . Бірінші теңсіздікті - ға, ал екінші теңсіздікті санына көбейтіп, оларды қосамыз. Нәтижесінде алатынымыз: . Бұдан функциясының жиынында дөңестігі шығады. Теорема дәлелденді.

2 теорема. Дөңес жиынында функциясы дөңес болуы

үшін мына теңсіздіктің орындалуы қажетті және жеткілікті:

(5)

Дәлелі. Қажеттілігі. Мәселен, дөңес болсын дейік. Онда (5) теңсіздігінін орындалатынын көрсетейік. Кез келген үшін (4) теңдік орындалатындықтан, дербес жағдайда . Осы теңсіздікті (4) өрнекке қоссақ, нәтижесінде (5) өрнек алынады.

Жеткіліктілігі. жиынындағы функциясы, үшін (5) өрнек орындалсын. - да функциясының дөңес екендігін көрсетейік.

Дәлелдеу үшін мына айырманы көрсету жеткілікті

Мұндағы болғандықтан, келесі теңсіздіктің орындалатыны сөзсіз:

Бірінші теңдік ақырлы өсімшелер формуласынан алынса, екіншісі орта мән туралы теоремадан шығады Ендеше

Мәселен,

Онда , ал . Енді алдыңғы теңдікті мына түрде жазамыз:

болғандықтан (5) өрнекке сай алатынымыз:

3 теорема. функциясы дөңес жиынында дөңес

болуы үшін төмендегі теңсіздіктің орындалуы қажетті және жеткілікті:

(6)

4 теорема. функциясы дөңес жиынында әлді дөңес болуы үшін

(7)

теңсіздігі орындалуы қажетті және жеткілікті.

5 теорема. функциясы дөңес жиынында әлді дөңес болуы үшін

(8)

теңсіздігі орындалуы қажетті және жеткілікті.

6 теорема. функциясы дөңес жиынаында әлді дөңес болуы үшін

(9)

теңсіздігі орындалуы қажетті және жеткілікті.

Осы алынған (4) - (9) формулалары дөңес жиынында анықталған тегіс функцияларының дөңестігін және әлді дөңестігін тексеру үшін қолданылады.

3 анықтама. Егер (10)

болса, онда функцияларының градиенті жиынында Липщиц шартын қанағаттандырады дейміз. Мұндай функциялар кеңістігінің белгіленуі -

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]