1. Тегіс функциялардың дөңестігінің критерийлері
1 ан:
Кез
келген
үшін барлық
кезінде
онда
жиыны дөңес деп аталады.
2 ан:
-дегі
дөңес жиын
жиынында анықталған функция болып, кез
келген
нүктелері үшін барлық
кезінде
теңсіздігі
орындалса, онда
функциясы
жиынындағы дөңес
функция деп
аталады.
1
теорема.
Дөңес
жиынында
функциясы дөңес болуының қажетті де
жеткілікті шарты:
(4)
Дәлелі.
Кажеттілігі.
дөңес дейік. Сонда (1) теңсіздігінен
алатынымыз:
Осыдан, ақырлы өсімшелер формуласы негізінде жазатынымыз:
Бұл
теңсіздіктің
екі
жағын
да
санға
бөліп,
кезде
шекке
көшіп,
екендігін
ескерсек
(4) өрнегі
шығады.
Қажеттілік
дәлелденді.
Жеткіліктілігі
. Дөңес
жиынындағы
функциясы
үшін
(4) өрнегі
орындалсын.
Онда
- да
функциясының
дөңестігін
көрсетейік.
дөңес
болғандықтан:
.
Ендеше
(4) теңсіздігінен:
.
Бірінші
теңсіздікті
- ға,
ал
екінші
теңсіздікті
санына
көбейтіп,
оларды
қосамыз.
Нәтижесінде
алатынымыз:
.
Бұдан
функциясының
жиынында
дөңестігі
шығады.
Теорема
дәлелденді.
2
теорема.
Дөңес
жиынында
функциясы
дөңес
болуы
үшін мына теңсіздіктің орындалуы қажетті және жеткілікті:
(5)
Дәлелі.
Қажеттілігі.
Мәселен,
дөңес
болсын
дейік.
Онда
(5) теңсіздігінін
орындалатынын
көрсетейік.
Кез
келген
үшін
(4) теңдік
орындалатындықтан,
дербес
жағдайда
.
Осы
теңсіздікті
(4) өрнекке
қоссақ,
нәтижесінде
(5) өрнек
алынады.
Жеткіліктілігі. жиынындағы функциясы, үшін (5) өрнек орындалсын. - да функциясының дөңес екендігін көрсетейік.
Дәлелдеу үшін мына айырманы көрсету жеткілікті
Мұндағы болғандықтан, келесі теңсіздіктің орындалатыны сөзсіз:
Бірінші
теңдік ақырлы өсімшелер формуласынан
алынса, екіншісі орта мән туралы
теоремадан шығады
Ендеше
Мәселен,
Онда
,
ал
.
Енді
алдыңғы
теңдікті
мына
түрде
жазамыз:
болғандықтан
(5) өрнекке
сай
алатынымыз:
3
теорема.
функциясы
дөңес
жиынында
дөңес
болуы үшін төмендегі теңсіздіктің орындалуы қажетті және жеткілікті:
(6)
4
теорема.
функциясы
дөңес
жиынында
әлді
дөңес
болуы
үшін
(7)
теңсіздігі орындалуы қажетті және жеткілікті.
5 теорема. функциясы дөңес жиынында әлді дөңес болуы үшін
(8)
теңсіздігі орындалуы қажетті және жеткілікті.
6 теорема. функциясы дөңес жиынаында әлді дөңес болуы үшін
(9)
теңсіздігі орындалуы қажетті және жеткілікті.
Осы алынған (4) - (9) формулалары дөңес жиынында анықталған тегіс функцияларының дөңестігін және әлді дөңестігін тексеру үшін қолданылады.
3
анықтама.
Егер
(10)
болса,
онда
функцияларының градиенті
жиынында Липщиц шартын қанағаттандырады
дейміз. Мұндай функциялар кеңістігінің
белгіленуі -
