84.Аргумент принципі

Теорема 25. интегралы ішкі облысындағы функциясының нөлдерінің санымен беттеседі.

Дәлелдеу.Айталық, - функциясының ретті нөлі болсын, сонымен бірге жатсын. _{нүктесінің маңайында келесі қатынас орынды}

Соңғы теңдікті дифференциалдап

аламыз.

Онда төмендегі қатынас алынады,

(гол.функцияның орнына) .

Нәтижесінде,

Соңғы нәтиже бойынша

Мұндағы - функциясының ішкі облысындағы нөлдерінің саны.

Теорема 26. интегралы төмендегі формуламен анықталады

Дәлелдеуі. _{шекарасының теңдеуін параметрлік түрде} жазайық:

.Олай болса,

Теорема дәлелденді.

Салдар. _{функциясының ішкі облысындағы нөлдерінің саны шекарасын айналып өткен кезде векторын жасайтын нүктесінің төңірегін айналу санымен беттеседі.}

Руше теоремасы.

Теорема27. (Руше) Егер функциясын төмендегі екі шарт орындалатындай

• - голоморфты функция да,

• облысының шекарасында немесе , бағалаулары орынды.

қосындысына жіктеуге болатын болса, онда

.

Дәлелдеу.

Теңсіздігінен және функциялары шекарасында нөлге тең емес екендігі шығады.Егер болған кезде болғандықтан онда

,

Онда төмендегі қатынасты аламыз

.

Алайда, шекарасында (на дегенді жазбандар) болғандықтан, кез келген өзгерісі үшін нүктесі шеңберінен шықпайды. Сондықтан да, векторы нүктесін айнала алмайды,яғни . Теорема дәлелденді.

Логарифмдік шегерім.

Есептеу.

Айталық, функциясы облысы голоморфты функция болсын.Г контуры G –дың шекарасы .Белгілеулер енгізейік:

– бұл функциясының G облысының нөлдері.

- бұл нөлдердің реті.

– бұл функциясының G обылысының полюстері.

- бұл полюстер реті.

1. Формула маңызды дербес жағдайда қарастырайық:

1. 

формуладан шығатыны

Мұндағы, - бұл функциясының G обылысындағы нөлдерінің саны. - бұл функциясының G обылысындағы полюстерінің саны.

Әрбір нөлдер мен полюстер олардың реті қанша рет болса, сонша рет саналады.

- интегралы функциясының Г контур байланысты логарифмдік шегерім деп аталады. Бұл сөз өрнегі логарифмдік функцияның туындысы бойынша алынған.Сонымен, функциясының Г контур байланысты логарифмдік шегерім функциясының G обылысындағы саны мен полюстерінің санының айырмасына тең.

85.Модульдің максимум принципі.Шварц леммасы.

Теорема . (Максимум модуль принципі)Облыста голоморфты функцияның модулі оның ішкі нүктесінде максимумға жетеді сонда тек сонда ғана егер функция тұрақты болса.

Теорема.(Шварц леммасы) Егер голоморфты функциясы бірлік шеңберді центрін сақтай отырып, бірлік шеңберге бейнелесе, онда бірлік шеңбердің барлық нүктелері үшін келесі теңсіздік орынды .Сонымен бірге егер теңдік ең болмағанда екі нүктеде орындалса,онда ол барлық жерде орынды.Яғни, мұндай жағдайда .

Дәлелдеуі. _{болғандықтан функциясы нөл нүктесінде ерекшелігі бар және - шеңберде голоморфты.Максимум принципі бойынша}

_{шығады.Бұдан} бекітіп және -ді бірге ұмтылдырамыз, онда соңғы теңдеуді аламыз.

Теореманың 1-ші бөлігі дәлелденді.Егерде әр түрлі екі нүктесінде шарт орындалса, онда олардың ең болмағанда біреуі нөлден өзге Максимум принципі бойынша бірге тең максимум мәніне жетеді.Онда функциясы модулі бойынша бірге тең тұрақты функция болып табылады.