1.2. Эмпирикалық үлестірім функциясы
Әрбір
үшін
таңдамасының
-
тен аспайтын элементтерінің санын
арқылы белгілелік. Онда бұл кездейсоқ
шаманы былайша
(3)
жаза
аламыз, мұндағы
оқиғасының индикаторы:
,
егер
болса;
егер
болса. Әрине,
үшін
,
мұндағы
.
Егер таңдаманың
-ші
элементі
интервалына түссе “табыс”, түспесе –
“сәтсіздік” деп есептесек, онда
-ті
табысының ықтималдығы
болатын Бер-нуллидің
сынағы нәтижесіндегі табыс саны ретінде
қарастыра аламыз. Онда табыстың
салыстырмалы жиілігі ретінде анық-талған
(4)
функциясы
эмпирикалық
үлестірім функциясы деп
аталады да, бақыланатын
кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы
теориялық
(
немесе
гипотетикалық )
үлестірім функция-сы деп аталады.
Анықтамасы бойынша
-
кездейсоқ шама және
~
болғандықтан
(5)
Сонымен
әрбір
үшін
эмпирикалық үлестірім функциясы 0, 1/
,
2/
,…,(
-1)/
,
мәндерін (5) фор-мулаларға сәйкес
ықтималдықтармен қабылдайды және
таңдамасының әрбір жүзеге асырылуы
үшін бірмәнді анық-талған.
эмпирикалық үлестірім функциясының
кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының
біз білетін барлық қасиет-терін
қанағаттан-дыратынын байқау қиын емес:
нөл
мен бірдің арасында өзгереді; кемімейді;
оң жағынан үзіліссіз.
Сонымен бірге ол бөлікті-тұрақты және
тек (1)-тізбек нүктелерінде ғана өседі.
Егер (1)-қатардың теңсіздіктерінің бәрі
қатаң теңсіздіктер (
)
болса, онда, әрине
яғни
бұл жағдайда функцияның барлық
секірістерінің шамасы 1/
(
)
және оның графигі
нүкте-леріндегі секірісі
болатын монотонды кемімейтін
бөлікті-тұрақты функция.
Эмпирикалық үлестірім функциясының математикалық ста-тистикада атқаратын рөлі өте зор, олардың ішіндегі ең маңыздыларының бірі-таңдаманың көлемі өскен сайын оның теориялық функцияға “мейлінше жақындай” беретіндігі. Дәлі-рек айтсақ мынадай теорема дұрыс.
1-теорема.
Айталық,
-
үлестірімінен алынған
таңдамасы бойынша құрастырылған
үлес-тірім функциясы, ал
–сәйкес
теориялық үлестірім функ-циясы болсын.
Онда кез келген
және кез келген
үшін
(6)
басқаша айтқанда
(6')
Теореманы
дәлелдеу
үшін бізге (6) (немесе (
))
тұжы-рымның Бернулли схемасы үшін үлкен
сандар заңының дәл өзі екенін байқау
жеткілікті.
Бернулли схемасы үшін күшейтілген үлкен сандар заңы бізге мынадай теореманың дұрыстығын қамтамасыз етеді.
2-теорема. Жоғарыдағы 1-теореманың шарттары орындалған жағдайда
(7)
басқаша айтқанда
(7')
Бұл теоремадан әлдеқайда күшті келесі нәтижені 1993 жылы В.И.Гливенко дәлелдеген.
3-теорема (Гливенко). 1-теореманың шарттары орындалған жағдайда
.
(8)
(8)-қатынас эмпирикалық үлестірім функциясының теориялық үлестірім функциясынан ауытқуы
(9)
таңдаманың
көлемі жеткілікті үлкен болған жағдайда
бүкіл сан осінде бірге тең ықтималдықпен
қаншалық қажет болса, соншалық аз
болатынын көрсетеді. Бірақ бұл ауытқулар
қандай ықтималдықтармен орындалатыны
Гливенко теоремасынан шықпайды. Бұл
жерде тек үлкен
–дер
үшін
–нің
0-ден ауытқу шамасының ықтималдығын
беретін бір нәтижені дәлелдеусіз келтіре
кетелік.
4-теорема
(Колмогоров).
Егер
функциясы үзіліссіз болса, онда кез
келген бекітіліп қойылған
үшін
.
(9')
Колмогоров теоремасы белгісіз үлестірім функциясын үлкен ықтималдықпен (берілген сенімділік ықтималдығымен) қамтитын интервалды (сенімділік интервалын) табуға мүмкін-дік береді. Айтылғанға мысал келтірелік.
1-мысал
(Белгісіз
теориялық функция
үшін сенімділік ықтималдығы
–ға
тең сенімділік интервалы).
Айталық, сенімділік ықтималдығы
(
-1-ге
жақын ықтималдық, мәселен
=0,95;
=099
т.с.с.) берілсін. Осы
бойынша
фунциясының кестесінен
болатын
мәнін табалық . Онда (9) - қатынастан
,
бірақ
болатынын ескерсек,
.
интервалы
(бұл кездейсоқ
интервал,
өйткені оның шеттері
кездей-соқ шамасы арқылы анықталған)
берілген
сенімділік ықтималдығымен (деңгейімен)
белгісіз
теориялық функциясын көмкеретін
(жабатын, қамтитын) асимтотикалық
сенімділік интервалы. Әдетте белгісіз
шама (функция, параметр т.с.с.) берілген
ықтималдықпен екі шеті кездейсоқ шама
болатын кездейсоқ интервалда жатады
дегеннің орнына кездейсоқ сенімділік
интервалы белгісіз шаманы берілген
ықтималдықпен жабады (көмкереді) деп
айтады да, оны, мәселен біздің жағдайымызда,
былайша жазады: жеткілікті үлкен
үшін
