31.Кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шаманың үлестірім заңы және үлестірім функциясы.Кездейсоқ шамалардың түрлері.

Анықтама: Дискретті элементар оқиғалар кеңістігінде анықталған кез келген сандық функциясын кездейсоқ шама деп атаймыз. Егер кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерінің саны ақырлы болса, онда мұндай кездейсоқ шаманы қарапайым кездейсоқ шама дейміз. Егер кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерінің жиыны арқылы немесе саналымды жиын болса, онда мұндай кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ шама деп атаймыз. Кездейсоқ шамаларды көбінесе грек әріптерімен , кейде латын әріптерімен белгілейтін боламыз. кездейсоқ шамасы арқылы пайда болған (ықпалданған) ықтималдық деп аталады.

Әрине, ықтималдығы ықтималдықтары арқылы былай өрнектелетіндігі түсінікті

сандарының жиыны (тізбегі) кездейсоқ шамасының ықтималдықтарының үлестірімі (үлестірім заңы) деп аталады.

Кездейсоқ шаманың түрлері:

Егер кездейсоқ шамаларының үлестірім заңдары былай анықталған болса: . Мұндай кездейсоқ шамалар Бернуллилік кездейсоқ шамалар деп аталады. Бұрын дәлелдегеніміздей кездейсоқ шамасының үлестірім заңы былай анықталаса: (5)

Егер кездейсоқ шамасының үлестірім заңы (5) формуламен анықталса, біз ондай кездейсоқ шаманы параметрлері мен - ға тең биномдық кездейсоқ шама деп атаймыз да, оны бұдан былай қарай қысқаша деп белгілейміз.

Құтыда ақ, қара шар бар болсын және осы құтыдан кездейсоқ түрде шар алынған болсын. Осы алынған шарлардың ішіндегі ақ шарлардың санын деп белгілелік. Онда бұл кездейсоқ шаманың үлестірімі мына формулалар арқылы анықталады: (6)

Үлестірім заңы (5) формула арқылы анықталған кездейсоқ шама гипергеометриялық кездейсоқ шама деп аталады.

кездейсоқ шамасын мынандай үлестірім заңымен анықталық:

(7)

Мұндағы -берілген ықтималдық. Әрине, болғандықтан қандай да бір кездейсоқ шаманың үлестірім заңын анықтайды. Мұндай кездейсоқ шаманы параметрі -ға тең геометриялық кездейсоқ шама деп атаймыз.

кездейсоқ шамасының үлестірім заңын былай анықталық:

болғандықтан, шынында да ықтималдықтық үлестірім заңы. Мұндай кездейсоқ шаманы параметрі -ға тең Пуассондық кездейсоқ шама деп атаймыз да, мұны қысқаша деп белгілейтін боламыз.

Егер кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерінің жиыны арқылы немесе саналымды жиын болса, онда мұндай кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ шама деп атаймыз.

Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндері үзіліссіз болса, үзіліссіз кездейсоқ шама деп аталады.

Анықтама. Айталық болсын. Онда

(9)

функциясы кездейсоқ шамасының үлестірім (үлестіру) функциясы деп аталады. Қасиеттері:

F0.

F1. Егер болса, онда (үлестіру функциясының монотондылық қасиеті)

F2.

F3. оң жағынан үзіліссіз және б­лікті-тұрақты.

32.Кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігі. Үзіліссіз және дискретті кездейсоқ шамалардың тәуелсіздік белгілері. Композиция формуласы.

Егер , дискреттi кездейсоқ шама болатын болса, онда оқиғалары арқылы бөлiктеуi пайда болады. Расында да болғандықтан , және . Өз кезегiнде бөлiктеуi мұндағы , оқиғаларынан тұратын F алгебрасын пайда қылады: F бөлiктеуiн және F алгебрасын бiз сәйкес -кездейсоқ шамасы арқылы пайда болған (жасалған, тудырылған) бөлiктеу және алгебра деп атаймыз.

1-Анықтама. Егер кездейсоқ шамалары арқылы пайда болған F ,F ,...,F алгебралары тәуелсiз алгебралар болатын болса, онда кездейсоқ шамалары тәуелсiз (өзара тәуелсiз, жиынтықта тәуелсiз) кездейсоқ шамалар деп аталады.

Жоғарыда көргенiмiздей F болғандықтан F ,F ,...,F алгебраларының тәуелсiздiгi кез келген және үшiн

(16)

шартына эквиваленттi .Сонымен бiз тәуелсiздiктiң мынандай да анықтамасын бере аламыз:

2-Анықтама. Егер кез келген және сандық жиындары үшiн (16) шарттар орындалатын болса кездейсоқ шамалары тәуелсiз кездейсоқ шамалар деп аталады.

F ,F ,...,F алгебраларының тәуелсiздiгi оларды туындатқан бөлiктеулерiнiң тәуелсiздiгiне эквиваленттi болғандықтан , бiз кездейсоқ шамалардың тәуелсiздiгiнiң тағы бiр эквиваленттi анықтамасын бере аламыз.

3-Анықтама. Егер кез келген үшiн

(17)

болатын болса кездейсоқ шамалары тәуелсiз кездейсоқ шамалар деп аталады.

Бұл анықтамадан, егер тәуелсiз кездейсоқ шамалар болса, онда кез келген индекстерi үшiн кездейсоқ шамаларының да тәуелсiз кездейсоқ шамалар болатыны шығады.

Ендi тәуелсiз кездейсоқ шамалар тiзбегi туралы да мағлұмат бере кетелiк.

4-Анықтама. кездейсоқ шамалар тiзбегi берiлген F дискреттi ықтималдық кеңiстiгiнде анықталған тiзбек болсын. Онда, егер кез келген индекстерi және үшiн (16) қатынастар орындалатын болса онда бiз кездейсоқ шамалар тiзбегiн тәуелсiз кездейсоқ шамалар тiзбегi деп атаймыз. Егер берiлген жағдайда (16) шарт тек қана үшiн орындалатын болса, бұл тiзбек екеуара (қос-қостан) тәуелсiз кездейсоқ шамалар тiзбегi деп аталады.

Ендi кездейсоқ шамалардың тәуелсiздiгiне байланысты бiрнеше тұжырымдар дәлелделiк.

Теорема. кездейсоқ шамалары тәуелсiз кездейсоқ шамалар болу үшiн

(18)

шартының орындалуы қажеттi және жеткiлiктi.

Теорема. Егер кездейсоқ шамалары тәуелсiз кездейсоқ шамалар болса, ал - сандық функциялар болса, онда кездейсоқ шамалары да тәуелсiз кездейсоқ шамалар болады.

5-Анықтама. Айталық кездейсоқ векторлары берiлсiн. Егер кез келген жиындары үшiн

(16’)

орындалатын болса, онда кездейсоқ векторлары тәуелсiз кездейсоқ векторлар (тәуелсiз көп өлшемдi кездейсоқ шамалар) деп аталады.

Мысал. Композиция формуласы. Айталық, тәуелсiз кездейсоқ шамалары берiлсiн. Онда:

(соңғы қосындыда егер , онда )

Жоғарыда тәуелсiз кездейсоқ шамалары үшiн

(19)

формуласы композиция формуласы немесе үйiрткiлер формуласы деп аталады және оны әдетте қысқаша былай жазады: