29.Жалпы ықтималдық кеңістігі. Ықтималдық теориясының аксиомалары. Ықтималдық қасиеттері.

Ықтималдықтар теориясында зерттелінетін кездейсоқ құбылыстардың математикалық модельдері - ықти-малдық кеңістігі ұғымына негізделеді, мұндағы: а) - элементар оқиғалар кеңістігі ( элементар оқиға - тәжірибенің жалғыз мүмкіндікті өзара сиыспайтын нәтижелері), (бос жиын); ә) - -ның қандай да бір ішкі жиындарының -алгебрасы (оқиғалар өрісі). -ның элемент-тері кездейсоқ оқиғалар ( көбіне қысқаша оқиғалар) деп аталады. б) : [0,1]– ықтималдық (ықтималдықтық функция).

Элементар оқиғалар кеңістігі (э.о.к.) деп эксперименттің мүмкін болатын, өзара сиыспайтын (яғни бірдей уақытта пайда болмайтын) жалғыз мүмкіндікті барлық нәтижелерінің жиынын айтамыз. Сонымен, егер деп экспериментке сәйкес келетін элементар оқиғалар кеңістігін белгілесек, онда = , “элементар оқиғалар” (нәтижелер) жиыны.

Ақырлы немесе саналатын элементтерден (“элементар оқиғалардан”) тұратын элементар оқиғалар кеңістігі дискретті элементар оқиғалар кеңістігі деп аталады.

Дискретті элементар оқиғалар кеңістігі -ның кез келген ішкі жиыны оқиға (кездейсоқ оқиға) деп аталады. Басқаша айтқанда, кездейсоқ оқиға дегеніміз эксперимент нәтижесінде осы оқиғаның пайда болуына әкеп соғатын элементар оқиғалардың жиыны

Екі А және В оқиғаларының қосындысы (бірігуі) деп (оны деп белгілейміз) А және В оқиғаларының ең болмағанда біреуіне тиісті элементар оқиғалардан тұратын оқиғаны айтады: =

Ықтималдықтар теориясының тілінде А немесе В оқиғаларының ең болмағанда біреуі пайда болғанда ғана пайда болатын оқиға.

А және В оқиғаларының көбейтіндісі (қиылысуы) деп (оны немесе деп белгілейміз) осы оқиғалардың екеуіне де ортақ элементар оқиғалардан тұратын оқиғаны айтады: = және

оқиғасы және оқиғаларының екеуі де пайда болған жағдайда ғана пайда болатын оқиға.

және оқиғаларының айырымы деп (оны деп белгілейміз) оқиғасына тиесілі, бірақ оқиғасына тиесілі емес элементар оқиғалардан тұратын оқиғаны айтады: =

оқиғасы оқиғасының пайда болуынан және -ның пайда болмауынан тұратын оқиға.

оқиғасына қарама-қарсы (кері) оқиға деп (оны деп белгілейміз) оқиғасына тиесілі емес элементар оқиғалардан тұратын оқиғаны айтады:

= =

Қарама-қарсы оқиғасы оқиғасы пайда болмаған кезде ғана пайда болатын оқиға.

A ақырлы ықтималдық кеңістігін қарастыралық және элементар оқиғалар кеңістігіндегі барлық элементар оқиғалар өзара тең ықтималдықты болсын деп есептелік: ...= . Онда

.

Бұдан = және кез келген A оқиғасы үшін .

Ықтималдықты осылай анықтауды ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды.

Айталық дискретті элементар оқиғалар кеңістігі болсын.

Егер -да анықталған, теріс емес және шартын қанағаттандыратын сандық функциясы берілсе, онда біз элементар оқиғалардың ықтималдықтары берілген дейміз (кейде функциясы -да ықтималдықтардың үлестірімін береді деп те айтамыз).

Кез келген оқиғасының ықтималдығы деп мына санды айтамыз:

(1)

Егер A деп -ның барлық ішкі жиындарының жиынын белгілесек, яғни A барлық кездейсоқ оқиғалардың жиыны болса, онда жоғарыда енгізілген функциясы кез келген A үшін анықталған. Бұл функцияны бұдан былай қарай A-да анықталған ықтималдық (ықтималдықтық функция) деп атаймыз.

Анықтама. дискретті элементар оқиғалар кеңістігі, A -ның барлық ішкі жиындарының жиыны, A-да анықталған ықтималдық болсын. Онда A үштігі дискретті ықтималдық кеңістігі деп аталады.

Егер ақырлы жиын болса , онда дискретті ықтималдық кеңістігі ақырлы ықтималдық кеңістігі деп аталады.

Қасиеттері:

1). Кез келген A оқиғасы үшін

2). Себебі (1) формула және ықтималдықтық функцияның анықтамасы бойынша және

3).

Шынында да анықтама бойынша

Бұдан мынау шығады: егер болса, яғни , окиғалары үйлеспейтін болса, онда

4). .

Себебі және болғандықтан 3-қасиет бойынша . Егер қосарлылық принципін еске алсақ, біз осы қасиетті пайдаланып мынандай формулаларды жаза алатынымызды ескерте кетейік: кез келген оқиғалары үшін

5). Егер A және болса, онда

Бұл және болатындығынан шығады.

6) Егер оқиғасы оқиғасын ілестіретін болса , онда .

Себебі және 3-ші және 1-ші қасиеттер бойынша

7) Кез келген , оқиғалары үшін

Бұл 1-ші және 3-ші қасиеттерден шығады.

Соңғы қасиет, әрине, оқиғалардың кез келген саналымды қосындысы үшін де дұрыс

Шындығында да, егер

деп белгілесек, онда 6-қасиет бойынша және де болғандықтан 5,6-қасиеттер бойынша

8). .

Шынында да болғандықтан 3-қасиет бойынша .

9). Кез келген оқиғалары үшін

(2)