5 Законы де Моргана.

A V B = A&B A&B = A V B

Важное значение для выполнения преобразований логи­ческих выражений имеют законы алгебраических преобра­зований. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре.

6 Закон коммутативности. В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказыва­ний можно менять местами логические переменные при опе­рациях логического умножения и логического сложения:

Логическое умножение A&B= B&A

Логичекое сложение A V B= B V A

7 Закон ассоциативности. Если в логическом выражении

используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебре­гать скобками или произвольно их расставлять:

Логическое умножение Логическое сложение

(А& В) &С= А &(В&С) (А V В) V С =А V (ВV С)

8 Закон дистрибутивности. В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как об­щие множители, так и общие слагаемые:

Дистрибутивность умножения Дистрибутивность сложения относительно сложения относительно умножения ab+ac=a(b+c) в алгебре

(A&B) V (A&C)= А& (B V C) (А v В) & (А v С) = А у (В & С)

ПРИМЕР 2

Рассмотрим в качестве примера применения законов ло­гики преобразование логического выражения. Пусть нам не­обходимо упростить логическое выражение:

(А & В) v (А & В).

1. Воспользуемся законом дистрибутивности и вынесем за скобки А:

(А & В) v (A & В) = А & (ВVВ).

2. По закону исключенного третьего В v В =1, следователь­но:

А & (В v В) = А & 1 = А.

3.7 Решение логических задач

Разнообразие логических задач и способов их решения очень велико. Но наибольшее распространение получили следующие способы решения логических задач:

• средствами алгебры логики;

• с помощью рассуждений.

• табличный;

• с помощью графов.

3.7.1 Рассмотрим решение логических задач средствами алгебры логики

Обычно используется следующая схема решения:

1. изучается условие задачи;

2. вводится система обозначений для логических высказываний;

3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;

4. определяются значения истинности этой логической формулы;

5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

3.7.2 Решение логических задач с помощью рассуждений

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

ЗАДАЧА 2

Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения:

1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.