Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Львівський національний університет ім. І. Франка.

Кафедра геометрії і топології

Курсова робота ‘’Математична модель систем голосування’’

Студента 4 курсу групи МТМ-42

напряму підготовки математика

спеціальності геометрія і топологія

Харчука Маркіяна.

Керівник професор кафедри

геометрії і топології Радул Т.М

Національна шкала _________

Кількість балів: ____Оцінка ECTS ___

Члени комісії __________ ________________

__________ ________________

__________ ________________

Львів 2013

Зміст

Вступ…………………………………………………………………………………3

1.Поняття системи голосування, приклади………………………………………..5

2.Вагові системи голосування……………………………………………………...8

3.Характеризація вагових систем голосування…………………………………..11

3.1 Геометричний опис вагових систем голосування………………………...….17

Висновки…………………………………………………………………………….20

Використана література……………………………………………………………21

Вступ

Положення математики в сучасному світі далеко не те, яким воно було сто чи навіть тільки сорок років тому. Математика перетворилася на повсякденне знаряддя дослідження у фізиці, астрономії, біології, інженерній справі, організації виробництва і багатьох інших галузях теоретичної і прикладної діяльності. Багато великих лікарів, економістів та фахівців в області соціальних досліджень вважають, що сьогоднішній прогрес дисциплін став тісно пов'язаний з більш широким і повнокровним використанням   математичних методів, ніж це було до цього часу. Не дарма грецькі вчені говорили, що математика є ключ до всіх наук.

Математика не дає змогу розв’язувати проблеми економічного чи соціального характеру, але саме математичні моделі є джерелом створення нових концепцій, що дають змогу глибше проникнути в суть явищ, що відбуваються в суспільстві.

В даній курсовій роботі я розглядаю таке поняття,як системи голосування саме з точки зору математики. Системи голосування науково відносяться до теорії соціального вибору. Зараз важко уявити демократичну державу без вирішення важливих питань шляхом голосування, нехай це будуть як і вибори партій до Верховної Ради, так і голосування за нового президента у місцевому клубі авіалюбителів.

Вперше описано математично систему голосування було в кінці XVIII cторіччя, коли члени французької академії Жан- Шарль де Борда і маркіз де Кондорсе запропонували математично обґрунтовані методи демократичних способів обрання кандидатів. А в XX сторіччі спостерігається справжній «бум» математизації різних соціальних наук (можна згадати праці Я.Морено «соціометрія», К.Левіна «теорія поля»та ін.) . Не стало винятком і система голосування, яку розглянули Дж. Фон Нейман і О.Моргенштерн в своїй відомій праці про теорію ігор. Саме в ній ми можемо оцінити найбільш приближено до сучасності математичну модель систем голосування.

Загалом слід відмітити, що системи голосування відіграють важливу роль як і в політичному аспекті так і соціальному, а математика допомагає краще зрозуміти саму суть цього поняття.

1.Система голосування, приклади

Розглядаючи поняття системи голосування, можна звести її до поняття з погляду теорії ігор. Тобто, система голосування - це проста гра, де єдиною метою є «виграш», а коаліції учасників гри розглядаються лише за тим, чи досить в них сили, щоб виграти. Щоб краще зрозуміти суть систем голосування, розглянемо деякі приклади.

Приклад 1: Європейське економічне співтовариство

У 1958 році Римський Договір встановив існування системи голосування.

Систему назвали Європейське економічне співтовариство. Виборці в цій

системи були шість країн:

Франція

Німеччина

Італія

Бельгія

Нідерланди

Люксембург.

Франції, Німеччині та Італії були дані чотири голоси кожній, у той час

Бельгія і Нідерланди отримали два голоси, а Люксембургу відійшов

один. Для проходження закону чи проекту потрібно було в цілому не менше дванадцяти з сімнадцяти голосів.

Структура ЄЕС було змінена в 1973 році з додаванням нових країн і перерозподілу голосів.

Приклад 2: Рада Безпеки ООН

Виборці в цій системі - п'ятнадцять країн, що входять до складу

Рада Безпеки, п'ять з яких (Китай, Англія, Франція, Росія і

США) називаються постійними, в той час як інші десять членів – непостійні. Для проходження потрібно в цілому дев'ять з п'ятнадцяти голосів,причому всіх постійних членів, а також діє вето,яке може накласти одна з п’яти постійних членів своїм голосом проти більшості. (Для простоти ігнорується можливість варіанту «утримався».)

Приклад 3: Федеральна система Сполучених Штатів

Є 537 виборців у цій системі голосування: 435 членів Палати представників, 100 членів Сенату, прем’єр і президент. Прем’єр має право вирішального голосу в сенаті, а президент має право вето, що може бути скасовано шляхом голосування двох третин всіх учасників від палати представників і сенату. Для прийняття законопроекту, він має здобути підтримку: 1.218 або більше членів Палати представників, 51 або більше сенаторів (з чи

без прем’єра) і президента.

2. 218 або більше членів Палати представників і 50 сенаторів, прем’єра

і президента.

3. 290 або більше членів Палати представників 67 або більше сенаторів (з

або без прем’єра або президента).

Приклад 4: Система про внесення поправок до Конституції Канади

З 1982 року поправка до Конституції Канади стає законом

тільки якщо вона підтримується, принаймні сімома з десяти провінцій Канади

за умови, що в цих провінціях проживає принаймні половина населення Канади. Для розгляду прикладу достатньо будуть дані з наступним відсотками населення для десяти канадських провінцій,взяті з оціночних даних статистики Канади на 1 січня 2007 (заокруглено):

Острів Принца Едуарда (0%)

Ньюфаундленд (2%)

Нью-Брансвік (2%)

Нова Шотландія (3%)

Саскатчеван (3%)

Манітоба (4%)

Альберта (11%)

Британська Колумбія (13%)

Квебек (23%)

Онтаріо(39%)

Приклад 5:Диктаторська система голосування Дана система вирізняється тим, що серед виборців присутній так званий диктатор, без якого неможливо отримати проходження закону чи проету. Диктатором в тій чи іншій мірі в деяких країнах виступає президент з правом вето чи в минулі часи король чи королева. Побудуємо математичне поняття системи голосування. Розгляньмо скінченну множину , елементи якої називатимемо учасниками голосування. Процедура голосування полягає в тому, що кожний з учасників голосування висловлюється «за» або «проти». Системою голосування називають правило, яке визначає, прийнято рішення чи ні за результатами процедури голосування.

До опису системи голосування можна підходити по – інакшому. Назвімо виграшною коаліцією підмножину , що має таку властивість:якщо кожний елемент з проголосував «за», а кожний елемент з \ – «проти», то рішення прийнято. Очевидно, що кожна система голосування однозначно задається родиною всіх своїх виграшних коаліцій. Підмножину , що не є виграшною коаліцією, називають програшною коаліцією. Якщо в доповненні до підмножини не міститься жодної виграшної коаліції, то таку підмножину називають блокуючою коаліцією. Якщо до виграшної коаліції добавити один чи більше елементів,і вона знову буде виграшною, то таку коаліцію називають монотонною. Отже, система голосування – це множина S= , де – множина виборців, а – підмножина коаліцій.