3.2. Числовые характеристики распределения случайных величин

Полную, исчерпывающую характеристику случайной величины дают законы распределения. Для решения оперативных, плановых и прогнозных задач управления качеством руды зачастую нет необходимости полностью описывать случайную величину, исследуя функции f(x) или F(x). Достаточно знать только существенные особенности случайной величины, именуемые числовыми или статистическими характеристиками.

Указанные характеристики могут быть двух родов: теоретическими и эмпирическими. Теоретические иногда называют параметрами распределения случайных величин, а эмпирические – выборочными (статистическими) оценками этих параметров. Параметры распределения обычно представлены детерминированными величинами, а выборочные оценки – стохастическими (случайными) величинами.

К наиболее распространенным числовым (статистическим) характеристикам относятся медиана, мода, среднее значение, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации, математическое ожидание, асимметрия и эксцесс.

Медиана – это центр (средний член) упорядоченного ряда значений случайной величины Х; она делит площадь под кривой плотности распределения пополам. Медиану можно определить, расположив все значения x_i по возрастанию (убыванию) и отыскав средний по порядку член ряда. При четном числе рядов медиана определяется как полусумма двух средних рядов.

Мода – это значение x_i, которому соответствует наибольшая вероятность (частота или частость).

Среднее значение случайной величины – это среднеарифметическое из всех ее значений:

 =  .

Дисперсия – это мера рассеивания (отклонения) случайной величины относительно центра ее группирования. Она является главной характеристикой разброса случайной величины и вычисляется как усредненный квадрат отклонения случайных значений величины от ее среднего значения :

D =  .

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение

 =   =  .

Для вычисления выборочного среднеквадратического отклонения при n < (2030), в знаменателе п заменяется п–1. Это значение  зачастую именуется исправленным.

Коэффициент вариации случайной величины (эмпирический) – это отношение среднеквадратического отклонения к среднеарифметическому значению (в долях единицы или в процентах):

 =  . (3.1)

Эта характеристика случайной величины служит критерием корректности наблюдения или эксперимента. Можно считать, что технические измерения достаточно достоверны при  < 5 %, геологические и горные исходные данные и эксперименты при  < 1015 %. Кроме того, коэффициент вариации широко используется для характеристики степени изменчивости изучаемых свойств, параметров и показателей геологических, горных и обогатительных объектов и процессов, имеющих, как правило, различные размерности.

Математическое ожидание выражается для дискретной случайной величины через сумму произведений всех ее возможных значений x_i на соответствующие им вероятности p_i:

М(х) =  .

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание

М(х) =  .

Этот параметр равен абсциссе центра тяжести функции плотности вероятностей f(х) и характеризует ожидаемое среднее значение случайной величины. Он широко используется для оценок в горно-геологической и обогатительной практике, в частности для определения среднего содержания полезных компонентов, при подсчете запасов месторождения или его участков, планировании горных работ, при оценке прочностных свойств горных пород, гранулометрического, химического и минерального состава руды и др.

Асимметрия – это смещение пика графика плотности распределения (математического ожидания) от центра размаха варьирования (рис.3.5). Для дискретной случайной величины она определяется через кубы отклонений либо через частости соответственно

и ,

а для непрерывной – через плотность распределения и математическое ожидание: . Для симметричных распределений асимметрия равна нулю. Если мода, медиана и математическое ожидание смещены относительно центра размаха варьирования влево, то А > 0 и распределение положительно асимметричное (рис.3.5, кривая 1), а если вправо, то A < 0 и оно отрицательно асимметричное (рис.3.5, кривая 3).

Эксцесс – это числовая характеристика кривой плотности вероятностей, отражающая степень ее «крутости» или островершинности (рис.3.6). Островершинные распределения характеризуют приуроченность подавляющего большинства значений случайной величины к узкой области, примыкающей к моде, плосковершинные – рассеянность ее по всему интервалу возможных значений. Мерой эксцесса служит четвертая степень отклонений:

Е =  ; Е =  ;

Е =  .

Показатели асимметрии A_р = А/³ и эксцесса Е_р = Е/⁴ служат для оценки соответствия выборочных данных конкретному типу распределения.

Эксцесс нормального распределения обычно рассматривается как эталон. Так как Е_р = 3, для сопоставления различных распределений его принято представлять в виде

Е_р = Е/⁴–3.

При оценках непрерывной случайной величины по сгруппированным выборочным данным вероятности р_i заменяются частотами попадания значений х_i в каждый интервал группирования k_j, а значения х_i – значениями центров интервалов группирований x_j. Тогда формулы для определения математического ожидания М(х'), среднеквадратического отклонения ', показателей асимметрии А_р' и эксцесса Е_р' принимают следующий вид:

М(х') =  ; ' =  ;

А_р' =  ; Е_р' =  .

Момент случайной величины удобен для определения статистических характеристик случайной величины и вычисляется как сумма отклонений случайной величины x_i от относительно постоянной q в различных степенях k (от 1 до 4):

m_k = 

Параметр q может быть выбран произвольно, равным нулю или среднему значению . В первом случае момент случайной величины именуется произвольным (им пользуются для ускорения вычислений). Во втором случае момент именуется начальным и среднеарифметическое его значение определяется через момент первого порядка:  = m₁. Начальный момент

m_k =  (3.2)

В третьем случае момент называется центральным:

(3.3)

Статистические характеристики (дисперсия D, среднеквадратичное отклонение , показатели асимметрии А_р и эксцесса Е_р) легко вычисляются через центральные моменты случайной величины:

D = ₂;  = ; А_р = ₃/³; Е_р = ₄/⁴–3. (3.4)

Весомые преимущества использования моментов случайной величины для вычисления статистических характеристик дает применение персональных компьютеров, особенно пакетов электронных таблиц Excel для среды Windows. Пример такого расчета для оценки численных характеристик распределения содержания железа в руде показан в табл.3.3.

По данным табл.3.3 и формулам (3.1)-(3.4) легко определить следующие параметры ряда:  = 44,44; D = 59,36;  = = =  = 7,7;  = /  = 7,7/44,44 = 0,173; A = –218,12; А_р = = А/³ = –218,12/456,53 = –0,41; Е = 8740,94; Е_р = Е/⁴–3 = = 8740,94/3515,3–3 = –0,51. Таким образом, эта серия проб содержания железа в руде характеризуется следующими показателями: медианой 45 %, среднеарифметическим значением случайной величины 44,44 %, средним квадратическим отклонением 7,7 %, коэффициентом вариации  = 17,3 %, отрицательными показателями асимметрии (–0,41) и эксцесса (–0,51).

Таблица 3.3