3. Теплопроводность при стационарном режиме

3.1. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Если в дифференциальном уравнении энергии (2.4) скорость и ее проекции на координатные оси приравнять нулю, то уравнение будет описывать только микроскопический перенос тепловой энергии, который мы назвали ранее теплопроводностью. Тогда дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности можно записать в виде

(3.1)

При отсутствии внутренних источников тепла q_V = 0 дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности имеет вид

(3.2)

Если имеются внутренние источники тепла, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, то дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности превращается в уравнение Пуассона

(3.3)

Наконец, при стационарной теплопроводности и отсутствии внутренних источников тепла выражение (3.3) принимает вид уравнения Лапласа

(3.4)

Каждое из дифференциальных уравнений теплопроводности (3.1) – (3.4) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить конкретное решение, необходимо к дифференциальному уравнению присоединить дополнительные условия. Эти условия получили название краевых условий, или условий однозначности.

3.2. Краевые условия для процессов теплопроводности

Частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, включают в себя:

1) геометрические условия, по которым задаются в конкретной задаче форма и размеры тела, в котором протекает процесс теплопроводности;

2) физические условия, по которым задаются физические свойства материала (плотность, коэффициент теплопроводности и т.п.) тела, а также закон распределения внутренних источников теплоты;

3) начальные условия состоят в задании для нестационарных процессов теплопроводности поля температуры внутри тела в начальный момент времени

T=f (x, y, z) при =0;

4) граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничные условия первого рода состоят в задании значений температуры в точках границы тела, внутри которого разыскивается поле температуры

T_C=f (x_Г, y_Г, z_Г),

где T_C – температура на поверхности тела;

x_Г, y_Г, z_Г – координаты точек поверхности тела.

В частном случае температура в точках границы тела может быть постоянной T_C = const в течение всего процесса теплопроводности.

Граничные условия второго рода состоят в задании значений плотности теплового потока в точках границы тела, внутри которого разыскивается поле температуры

q_C=f (x_Г, y_Г, z_Г).

В простейшем случае плотность теплового потока на поверхности тела и во времени остается постоянной q_C = const.

Граничные условия третьего рода состоят в задании в точках границы тела связи между значениями плотности теплового потока и температуры. Эта связь представляет собой закон теплоотдачи Ньютона-Рихмана

q_C = (T_C – Т_Ж). (3.5)

При этом задаются температура окружающей тело жидкости Т_Ж вдали от него и коэффициент теплоотдачи  на границе тела и омывающей его жидкости. Величины q_C и T_C при этом не заданы, являясь искомыми величинами. По закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени, вследствие теплоотдачи должно равняться количеству теплоты, подводимому к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутреннего объема тела, т.е. по закону Фурье

(3.6)

где n – нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент температуры относятся к поверхности тела (при n=0).