2. Основные уравнения тепломассообмена

2.1. Дифференциальное уравнение сохранения массы

Это уравнение в технике получило название уравнения неразрывности или сплошности. Выделим в потоке движущейся жидкости неподвижный элементарный объем со сторонами dx, dy и dz и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него в направлении осей Ox, Oy и Oz за время d (рис. 2.1).

dM_y

dM_x

dM_x+dx

dM_z+dz

dM_y+dy

dM_z

Рис. 2.1

В направлении оси Ox в объем втекает масса жидкости

(а)

Через противоположную грань объема вытекает масса жидкости

.

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, получаем, что масса M _x+dx, вытекающая из элементарного объема в направлении оси Ox, равна

(б)

Вычитая (а) из (б), получаем излишек массы жидкости, вытекающий из элементарного объема в направлении оси Ox:

(в)

где dV=dxdydz.

Аналогичным образом для направлений по осям Oy и Oz имеем:

(г)

(д)

Суммируя равенства (в), (г) и (д), получаем полный избыток массы жидкости, вытекающей по всем трем направлениям из элементарного объема. Этот избыток обусловливается изменением плотности жидкости в объеме dV и равен изменению массы данного объема во времени Производя сокращение dV и d и перенеся все члены в левую часть равенства, окончательно получим дифференциальное уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности или сплошности) для сжимаемых жидкостей

(2.1)

Для несжимаемых жидкостей, плотность которых постоянна, =const, получаем следующее уравнение

(2.2)

Как видно, уравнение (2.1) или (2.2) не позволяет определить поле скоростей, так как в одно уравнение входят три неизвестные функции:

w _x=w _x(x, y, z, ); w _y=w _y(x, y, z, ); w _z=w _z(x, y, z, ).

Необходимо добавить еще уравнения. Таким уравнением может быть уравнение закона сохранения энергии.

2.2. Дифференциальное уравнение сохранения энергии

При выводе уравнения будем полагать, что движущаяся жидкость однородна и изотропна, ее физические свойства постоянны, энергия деформации мала по сравнению с изменением внутренней тепловой энергии. Выделим в потоке жидкости неподвижный относительно координатной системы элементарный объем, с ребрами dx, dy, dz (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Через грани этого объема теплота переносится конвекцией и теплопроводностью, так как суммарный вектор плотности теплового потока с учетом уравнений (1.4) и (1.9) равен

(2.3)

В общем случае в рассматриваемом объеме может выделяться (или поглощаться) теплота внутренними источниками (теплота химических реакций, джоулево тепло при прохождении электрического тока) плотностью q_V вт/м³.

В направлении оси Ox в элементарный объем вносится теплота

(а)

Через противоположную грань отводится теплота

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, получаем для отводимой теплоты

(б)

Вычитая (б) из (а), получим результирующий подвод тепла в направлении оси Ox

(в)

Аналогичным образом для направлений по осям Oy и Oz имеем:

(г)

(д)

Суммируя равенства (в), (г) и (д), получим результирующий подвод тепла к элементарному объему по всем трем направлениям

(е)

За счет внутренних источников тепла в элементарном объеме выделится теплота

(ж)

Суммируя (е) и (ж), получим общее количество тепла, подведенное к элементарному объему dV за промежуток времени d

(з)

Это подведенное тепло обусловливает изменение температуры жидкости в объеме dV и равно изменению энтальпии данного объема во времени

(и)

Приравнивая (з) и (и), получим

(к)

Спроектируем на оси декартовой системы координат уравнение (2.3)

Подставим эти проекции плотности теплового потока в формулу (к)

,

где оператор Лапласа.

Если в этой формуле учесть соотношение (2.2) и разделить левую и правую части на c_p, то получим окончательно дифференциальное уравнение сохранения энергии

(2.4)

где коэффициент температуропроводности, м²/сек.

Уравнений сохранения массы и энергии недостаточно для определения полей проекций скоростей движения жидкости w_x=w_x(x, y, z, ); w_y=w_y(x, y, z,); w_z=w_z(x, y, z, ) и поля температуры T=T(x, y, z, ). Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали изменение скорости во времени и пространстве. Такие уравнения дает закон сохранения количества движения.