3. Последовательное улучшение

Рассмотрим расписание , построенное для системы заданий . Заметим:

1. в соответствии с определением 2 для любого расписания p выполняется T( )≥ 0;

2. если расписание таково, что для всех выполняется , то оно оптимально относительно крите­рия (2.3).

Допустим, что в расписании есть работы с ненулевым запаз­дыванием:

Подмножество индексов работ с ненулевым запаздыванием обозна­чим через

Определим также множество

Работы, индексы которых принадлежат множеству , имеют нулевое запаздывание.

Оптимизационный анализ будем проводить в ракурсе выявления возможностей улучшения (относительно критерия T_max) некоторого известного решения задачи. Такой подход вполне вписывается в схему последовательного улучшения, в соответст­вии с которой задача построения приближенно оптимального распи­сания (то есть задача минимизации максимального временного за­паздывания работ) решается поэтапным уменьшением значения мак­симального запаздывания.

1. Классификация методов решения

Считая заданным начальное расписание , определим работы с максимальным (и равным) запаздыванием. На первом этапе мы должны уменьшить значение запаздывания именно для этих работ.

Пусть максимальное запаздывание в расписании имеет рабо­та ^:

Позиция этой работы в упорядочении может быть произвольной. Будем считать, что работа занимает в расписании (p) r-е место, h = p(r):

Можно выделить два случая:

1. работа является единственной работой с максимальным за­паздыванием:

2. работа не является единственной работой с максимальным запаздыванием:

Будем рассматривать второй случай, поскольку он является об­щим, а результаты исследований легко адаптируются на случай 1. Итак, пусть помимо работы максимальное запаздывание в расписании имеют еще q работ

(3.29)

Не ограничивая общности рассуждений, мы можем положить, что эти q + 1 работ в расписании (p) связаны следующими отношения­ми предшествования:

то есть r < r₁ < r₂ < . < r_q. Существуют следующие варианты реше­ния задачи (уменьшения значения

1. работу перенести на позицию l < r (сдвинуть влево, умень­шить ее порядковый номер в расписании);

2. изменить порядковый номер некоторой работы предшест­вующей (сдвинуть ее влево или вправо);

3. выполнить транспозицию работ , из которых одна ( ) предшествует , а другая ( ) следует за ней:

4. группу работ, предшествующих , сдвинуть вправо за (уве­личить их порядковые номера и выполнять после работы );

5. переупорядочить работы, предшествующие

Заметим, что при построении алгоритмов решения задачи могут ис­пользоваться и различные комбинации пунктов 1 - 5.

Все варианты решения предусматривают исследование некоторых подпоследовательностей работ расписания .

Определение 3. Последовательность из j ≤ n первых работ расписания называется начальной последовательностью расписания и обозначается

В соответствии с определением мы принимаем

Определение 4. Частичным расписанием расписа­ния называется последовательность работ, занимающих в расписании p места с k -го по r -е:

Очевидно, . Поэтому начальную последовательность работ мы также будем называть и частичным расписанием.

Для краткости вместо используется обозначение .

Дадим формальное описание действий, которые необходимо вы­полнить для реализации пяти перечисленных вариантов решения.

В расписании выделим два частичных расписания: подпосле­довательность работ, предшествующих работе , и подпоследова­тельность работ, следующих за . Обозначим эти частичные распи­сания соответственно, так что .

Вариант 1. подразумевает переход от расписания к расписанию - частичные расписания ,такие, что Очевидно, справедливо следующее пред­ставление: . Расписание принадлежит 1- окрестности расписания

Вариант 2. В частичном расписании выделим k-ю по поряд­ку работу t_p(_k). Следует рассматривать преобразования вида , k < r. Как и в предыдущем варианте, для расписания выполняется условие

Вариант 3. Пусть в результате транспозиции работ и из расписания получено расписание . Любая транспозиция может быть представлена в виде композиции двух преобразований. Поэтому .

Вариант 4. В частичном расписании выделим работу и подпоследовательности работ (частичные расписания ),предшествующих и следующих за Аналогично, выделим две подпоследовательности в частичном расписании . Исходное расписание теперь может быть представлено в виде .

Построим расписание .

Рассмотрим группу из v работ, предшествующих работе в распи­сании Для каждой из этих v работ выполним действия, анало­гичные только что описанным. В результате проведения преобразова­ний получим цепочку расписаний . Нетрудно видеть, что .

Вариант 5. Мы можем рассматривать все возможные преобра­зования и композиции преобразований частичного расписания . Пусть подпоследовательность состоит из v работ, а - результат преобразования (композиции преобразований), примененного к . Поскольку , постольку для расписания выполняется условие

Таким образом, задачу построения субоптимального расписания относительно критерия T_max можно решать, как и для критерия C_max, используя технику преобразований исходного расписания. Будем искать s- оптимальные расписания. При этом мы будем исследовать возмож­ности «улучшения» исходного (опорного) расписания, анализируя его окрестность. Как и ранее, свяжем понятие «улучшение расписа­ния» с эффективностью преобразования (композиции преобразований).

Определение 5. Преобразование называется эф­фективным относительно критерия T_max, если имеет место неравен­ство

Если неравенство (3.31) не выполняется, преобразование будем называть неэффективным относительно критерия T_max. Мерой эф­фективности преобразования относительно критерия T_max яв­ляется следующий максимум:

Аналогичным образом будем определять эффективность и неэф­фективность относительно критерия T_max композиции преобразова­ний.

Под эффективностью и неэффективностью преобразований и композиций (если это особо не оговари­вается), мы будем понимать эффективность и неэффективность именно относительно критерия T_max.