3. Разработка математической модели аппарата

Допущения:

1. структура потоков описывается моделью идеального перемешивания;

2. теплопотери в окружающую среду отсутствуют, теплофизические свойства жидкостей не зависят от температуры и концентрации компонентов;

3. теплоемкостью стенок пренебрегаем;

4. транспортным запаздыванием при изменении входных переменных пре­небрегаем;

5. расход хладоагента на входе и выходе одинаков; объем хладоагента в ру­башке постоянен и V_хл=const

Стехиометрический анализ реакции элементарен, ключевым компонентом считаем вещество А. Скорость реакции по компонентам запишется:

В соответствии с классификацией переменных и допущениями математическая модель динамики объекта включает в себя: уравнения материального баланса по компонентам, общее уравнение баланса по жидкости, уравнения теплового баланса реакционной смеси и жидкости в охлаждающей рубашке.

(1)

Начальные условия:

( 2)

Система (1) - это система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Для решения ее необходимо использовал, какой-либо численный метод, например, метод Рунге-Кугга, метод Эйлера и т.д.

Модель статики записывается тривиально, путем приравнивания производных нулю, а все входные и выходные переменные, присутствующие в правых частях (1), помечаются индексом «0»:

Синтез формализованной модели объекта

Формализованной моделью будем считать модель объекта, полученную путем линеаризации исходной системы (1) в окрестности рабочей точки статической характеристики. Линеаризацию проводим путем разложения всех функций и переменных, входящих в (1) в ряд Тейлора. При этом будем пренебрегать членами второго порядка малости. Текущие значения переменных выражаются следующим образом:

Где t⁰ – значение температуры, К.

П одставив выписанные выражения в систему (1) и вычитая затем из полученных уравнений соответствующие уравнения статики, будем иметь линеаризованную модель объекта

\

(2)

Обозначим:

Выражения для расчета параметров системы (2) через значения переменных в статике, размерность величин и их численные значения приведены в таблице 2.

Номер	Расчетные формулы	Численные значения	Размерность
1		59,24	мин
2		500	мин
3		14,34	мин
4		3,6	мин
5		0,088	безразм.
6		0,099	Моль* мин /л
7		0,00187	моль/л*К
8		0,0188	моль*мнн/ л2
9		1,4*10-4	моль/л2
10		0,295	моль*мин/л2
11		0,295	моль*мин/л2
12		0,0079	моль/л*К
13		3,657	безразм.
14		0,58*10-3	моль/л2
15		0,215	безразм.
16		7,173*10-3	безразм.
17		- 0,829	К*мин/л
18		-0,544	К*мин/л
19		96,7	К*л/моль
20		0,0153	К/л
21		1,18	безразм.
22		0,09	безразм.
23		0,4748	К*мин/л
24		0,909	безразм.

Для целей упрощения задачи построения структурной схемы объекта обозначим правые части в уравнениях системы (2): f,(x), f_:(т), Г₃(т), f₄(t), Тогда (2) перепишется в виде:

(3)

Преобразовав (3) по Лапласу, получим выражения для передаточных функций:

(4)

где р - комплексная переменная, знак «^А» обозначает преобразование Лапла­са.

Далее преобразуются по Лапласу функции Г,(т), представляющие собой линейные комбинации входных переменных с коэффициентами К,.

Преобразование по Лапласу f_t(r) при нулевых начальных условиях имеет вид:

(5)

Например:

Уравнение (5) - это уравнение сумматора. Аналогично преобразуются и другие функции - f_i (r)

С учетом сказанного структурная схема объекта представлена на рис.2.