Сызықтық программалаудың негізгі тұжырымдары
Канондық
түрдегі сызықты программалау есебін
қарастырайық:
, (2.12)
мұндағы
-
берілген векторлар, А-
берілген
ретті матрица.
матрицасын
түрінде жазуға
болады. Мұндағы
векторы шарттар
векторлары
деп, ал
- шектеулер
векторлары
деп аталады. Ендеше
теңдеуі
түрінде жазылады. Мына
,
жиындары аффиндік жиындар, яғни дөңес
жиындар.
1
анықтама.
Егер
нүктесі
түрінде өрнектелмесе, онда ол шеткі (немесе бұрыштық) нүкте деп аталады.
Осы
анықтамадан шеткі нүкте
жиынындағы кесінділердің ешқайсысының
ішкі нүктесі болмайтындығын көреміз.
1 Лемма. Шеткі нүктенің оң координаттарының саны m - нен аспайды.
Дәлелі.
Талдау желісін бұзбай, шеткі нүктенің
алғашқы
компоненттерін оң деп санаймық, себебі
қайта белгілеу арқылы әрқашанда мұны
қамтамасыз ете аламыз.
Қарсы
жориық:
шеткі нүктесінің
оң координаты болсын
.
Шеткі нүктенің кординаттарына сай
шарттар векторларынан
ретті
матрицасын құрамыз. Енді
біртекті сызықты тендеуін
векторына қатысты қарастырайық. Бұл
теңдеу нөлден ерекше
шешімдеріне ие болады. Мынадай
болатын
n
векторды анықтап, келесі екі векторды
қарастырайық (мұндағы
- жеткілікті өте аз сан). Байқайтынымыз:
кезінде
(мұндағы
- жеткілікті аз сан). Шынында да,
кез келген аз
үшін. Дәл осылай
.
Шеткі нүкте
.
Бұл шеткі нүкте анықтамасына қайшы.
Лемма дәлелденді.
2 Лемма. Шеткі нүктенің оң координаттарына сай шарттар векторлары сызықты тәуелсіз.
Далелі.
Мәселен
шеткі нүкте делік. Сонда
векторларының сызықты тәуелсіздігін
көрсетейік. Қарсы жоримыз:
болатын барлығы бірдей нөлге тең емес
сандары табылады (
векторлары - сызықты тәуелді).
тиістілігінен шығатыны:
.
Бірінші тендікті -ге көбейтіп екінші тендіктен алып , (қосып), нәтижесінде алатынымыз
Белгілеу енгізейік:
.
Онда барлық
кезінде
болатын
саны табылады. Ендеше
.Біз
нүктесі шеткі нүкте дегендіктен
қайшылықка ұрындық. Лемма дәлелденді.
2-анықтама.
Егер ұйғарымды векторлардың оң
координаттарының саны А
матрицасының рангынан кем болмаса (яғни
,
тендеуіндегі нөлден ерекше қосылғыштар
А
матрицасының рангынан кем болмаса),
онда (2.12)
-түрдегі есеп сызықты программалаудың
канондық түрдегі ерекшеленбеген есебі
деп аталады.
3-лемма.
Айталық
.
Егер ерекшеленбеген есептегі ұйғарымды
векторының дәл m
оң координаты
болса, онда х
- Х
жиынындағы
шеткі нүкте.
4-лемма.
Кез келген
нүктесін
жиынындағы шеткі нүктелердің дөңес
сызықты комбинациясы ретінде
өрнектеуге болады, яғни
-
жиынындағы шеткі нүктелер.
5-лемма.
Егер
X
-
дегі дөңес, шектелген, тұйық жиын, яғни
.
болса, онда
функциясының X
жиынындағы минимумы X
жиынының шеткі нүктесінде болады. Егер
X
жиынының бірнеше
шеткі
нүктелерінде X
жиынындағы
минимумына жетсе, онда
тап сол минимум мәніне кез келген
нүктелерінде жетеді.
6-лемма.
(Тиімділік баламасы)
шеткі нүктесі ерекшеленбеген канондық
түрдегі (2.12) сызықты программалау
есебінің шешімі болуының қажетті және
жеткілікті шарты:
