Көп критерийлі есептер
Бас
критерий әдісі.
Мәселен, қарастырылатын
критерийлерінің арасындағы өте маңызды
(бастысы)
болсын. Онда қалған критерийлердің
мәндері қайбір берілген
сандарынан кем болмауы қажет деген
ұйғарымда осы критерийді максимумдау
есебін қисындауға болады:
Критерийлер үйірткісі. Дербес критерийлерінің орнына аддитивті үйірткі жолымен алынатын жалпы жалғыз критерийді қарастыру ұсынылады:
(1.6)
мұндағы
салмақ коэффициенттері
тиісті критерийдің маңыздылық дәрежесін
сипаттайды
.
Жалпыланған критерий мультипликативті үйірткі жолымен де қисындалуы мүмкін:
(1.7)
(мұнда,
деп ұйғарылады). Мультипликативті
үйірткі (1.9) критерийлерді өлшеуде
логарфмидік масштабты қолдану арқылы
(1.8) аддитивті үйірткіге келетіндігін
есте сақтаңыз.
Нормативті
көрсеткіштер.
Жоспарлау мен жобалаудың есептерінде
қайбір нормативтер жүйесі
өте жиі беріледі де, зерттелетін жүйенің
параметрлері
шектеулерін қанағаттандыруы талап
етіледі. Мұндайда мақсат функциясы
ретінде
шарттарындағы мына өрнекті алған жөн
(ең нашар көрсеткішті максимумдау)
«Идеалдар»
әдісі.
Мәселен, біз әрбір
үшін бір критерийлі есептер жүйесін
шештік те
максимум мәндерін таптық дейік.
Критерийлер кеңістігіндегі
нүктесін «идеал» деп атаймыз. Енді
мақсат ретінде «идеалдан» ауытқуды
минимумдау есебін қойуға болады:
.
Біртіндеп көну әдісі.
Әуелі критерийлерді маңыздылығының
кемуіне қарай реттеп аламыз:
.
Одан
соң
есебін шешіп, анағұрлым маңызды
критерийдің
максимум мәнін табамыз.
Ымыра әдісі (Â.Парето). Жоғарыдағы көп критерийлі есептерді шешу тәсілдері жалпыланған бір критерийді таңдауға соқтырады, яғни бастапқы есеп басқа есеппен алмастырылады. Ал мұндай алмастыру өзін-өзі қаншалықты ақтайтындығы айтылмайды. Көп критерийлі есептерді талдауға өзге тұрғыдан келсек: қайбір нұсқалар бойынша басқа критерийлерге бәсекелесе алмайтын критерилерді жарамсыз деп тауып, салыстырылатын нұсқалар жиынын тарылтуға болады.
Сызықтық программалау есебінің қойылымы
Операциядарды
зерттеудің классификациясына сай, егер
ұйғарымды шешімдер жиыны
– дөңес көпжақ, ал тиімділік критерийі
жиынында анықталған сызықтық скаляр
мақсат функциясы болса, онда біз
сызықтық программалау есебін қарастырамыз.
Бұл есептердің теориясы сызықтық
программалау пәнін құрайды.
Сызықтық программалау туралы сөз қозғағанда, біз операцияларды зерттеу есебінің өзі туралы емес, оның көрсетілген арнайы шарттарды қанағаттандыратын математикалық моделі туралы айтамыз. Назар аударарлық мәселе – операцияларды зерттеудің бір ғана есебін шығару үшін әр түрлі математикалық моделдер қолданылуы мүмкін.
Сызықтық программалаудың жалпы есебі келесі түрде жазылады:
Мұндағы
– берілген сандық параметрлер, ал
жиындары жұптасып қиылыспайды және
.
Бұл есептегі басқарылатын
айнымалылар
немесе моделдің
айнымалылары
деп аталатын
белгісізі
векторының кординаттарын білдіреді.
Егер сызықтық программалау есебі
(2.5)
түрінде болса, онда сызықтық программалау есебі негізгі (стандарт) формада берілген дейміз.
Мұндағы
(2,6)
шектеуі
ұйғарымды шешімдер жиынын анықтайды
да, базистік шектеулерді көрсетеді.
Яғни бұл жүйедегі теңдеулер саны оның
матрицасының рангіне тең. Сонымен,
(2.5) өрнегінде
.
Ал
кезінде (2.6) жүйесі жалғыз шешімге ие
және
жиынының элементтерінің саны бірден
аспайтындықтан, жалпы жағдайда
(2.7)
деп қабылдаймыз.
Енді (2.1) мен (2.5) өрнектерін салыстыра отырып, егер моделдің айнымалаларының шектеулерінен басқа теңсіздік түріндегі барлық шектеулерге қосымша теріс емес айнымалылыр енгізу жолымен теңдік түріндегі шектеулер түрінде жаза алсақ, кез келген сызықтық программалау есебі канондық түрде өрнектелетінін көреміз.Теңсіздік түріндегі шектеулерді жаңа теріс емес айнымалылар енгізу арқылы теңдік түріндегі шектеулерге әкеле аламыз. Егер теңсіздік түріндегі шектеулер
,
түрінде
болса, онда қосымша
айнымалылыары арқылы оны келесі түрде
жазамыз
.
Дәл осылай,
теңсіздігі
түрінде жазылады.
Осы
айтылғандарды негіздеу үшін (2.1)
математикалық моделіне оралып,
ұйғарымды шешімдер жиынын анықтайтын
шектеулер жүйесінен бастап, оған анализ
жасалық.
Мәселен,
анықтылық үшін (2.1) өрнегіндегі
,
,
болсын. Бұдан соң
делік. Егер
,
онда басқарылатын жаңа айнымылылар
енгіземіз:
.
Егер
,
онда:
.
Сонымен,
(2.5) өрнегіндегі
.
Егер
,
онда
және
,
Егер
,
онда
және
Егер
,
онда
және
Егер
(2.1) дегі шектеулер арасында сызықты
тәуелсіздері жоқ болса, онда
Егер (2.1) дегі мақсат функциясы
минимумдалса, онда
егер (2.1) дегі мақсат функциясы максимумдалса, онда
