Түйіндес симплекс әдіс
Сызықтық программалаудың әрбір есебімен түйіндес деп аталатын сызықтық программалаудың басқа бір есебі тығыз байланысқан. Бастапқы есепті әуелгі дейміз. Әуелгі есеп пен түйіндес есеп арасындағы басты байланыс – олардың бірін тікелей шешу арқылы екіншісінің шешімдерін табуға болатындығында.
Түйіндес
есепке көшу міндетті емес екенін, өйткені
симплекс-кестені қарастырсақ бағандарда
әуелгі есеп, ал бағандарда түйіндес
есеп жазылғанын байқаймыз. Әрі әуелгі
есептің жоспарының бағалары
,
ал түйіндес есептің жоспарының бағалары
–
.
Сондықтан, түйіндес есептің тиімді
жоспарын әуелгі есеп жазылған
симплекс-кестеден, демек әуелгі есептің
тиімді жоспарынан ала аламыз. Бұл әдіс
түйіндес симплекс әдіс деп аталады.
Айталық жалпы түрде қойылған сызықты программалаудың әуелгі есебін шешу керек болсын:
,
, .
Онда түйіндес есеп мынаны білдіреді:
,
.
Мәселен, барлық векторлары үшін орындалатын, векторының кемінде бір компоненті (мысалы, ) теріс базисі таңдалсын дейік. Онда түйіндестік теоремасының негізінде алатынымыз: – түйіндес есептің жоспары. Бұл жоспар тиімді емес, өйткені бір жағынан таңдалған базисте теріс компонент қамтығандықтан әуелгі есептің тиімді жоспары бола алмайды, ал екінші жағынан түйіндес есептің бағасы теріс болмауы керек.
Сонымен, теріс компонентіне сай векторын базистен шығарып, ал теріс бағалауға сәйкес векторды түйіндес айнымалының базисіне енгізу қажет.
Әуелгі есептің базисіне енгізілетін векторды анықтау үшін -ші жолды қарастырамыз: егер онда қамстылмаса, онда түйіндес есептің сызықтық функциясы шешімдер облысында шектелмеген, ал бастапқы есептің шешімі жоқ. Егер де қайбір болса, онда осындай теріс мәндерді қамтитын бағандар үшін мәндерін есептейміз. Есеп минимумге шешілсе мәніне сай векторды анықтаймыз, ал есеп максимумге шешілсе, мәніне сай векторды анықтаймыз.
Осы вектор әуелгі есептің базисіне енгізіледі. Базистен шығарылатын вектор бағыттаушы жолдан анықталады.
Егер болса, онда жағдайында ғана шешуші элемент ретінде қабылданады. Шешуші элементті осылай таңдау бұл кезеңде векторының теріс компоненттері санының өсуіне соқтырмайды. Бұл процесс болғанша жалғаса береді. Бұл кезде түйіндес есептің тиімді жоспары, яғни түйіндес есептің де тиімді жоспары табылады.
Түйіндес симплекс әдіс алгоритмімен есептеулер жасағанда барлық жойылғанша шарптына назар аудармай, содан соң жай симплекс әдіспен тиімді жоспарды табамыз. Мұны барлық кезінде пайдаланған ыңғайлы. Онда бір итерацияда әуелгі есептің жоспарына көшу үшін өрнегі қолданылады. Бұл әдіс шектеулер жүйесінде түрлендірулер санын азайтуға, сонымен қатар симплекс-кесте өлшемін кішірейтуге мүмкіндік береді.
Коммивояжер есебі
пункт
және
пунктінен
пунктіне шейінгі ара қашықтық –
берілген
.
Коммивояжер 1 пункітінен шығады да,
қалған пункттерде бір реттен болып
бастапқы 1 пункітіне қайтып оралуы тиіс.
Коммивояжердің жүрген жолы минимум
болатын маршрутты анықтау қажет.
Коммивояжер әуелде 1-пунктте болады да
қалған
пункттерді аралау ретін анықтайды, яғни
аралаудың барлық мүмкін нұсқаларының
саны
.
Ал
саы өте үлкен болса, аралаудың барлық
мүмкін нүсқаларын компью-тердің
көмегемен қарап шығу да мүмкін емес.Есептің
А.Таккер ұсынған математикалық
моделін қарастыралық:
(1)
(2)
(.3)
(4)
,
(5)
мұндағы
басқарылатын
айнымалылары мына шартты қанағаттандырады:
егер коммивояжер маршруты
пункітінен
пункітіне тікелей өтуді қамтыса
,
кері жағдайда
.
Ал
көмекші айнымалылар
коммивояжер
пунктіне санақ бойынша нешінші болып
кіретіндігін көрсететін реттік нөмірлер
қызметін атқарады. Мысалы, коммивояжер
маршрутын таңдаса, онда
.
Әуелі барлық
мен
үшін жазылатын (.2)мен (.3) шарттары
сәйкесінше коммивояжердің әр пунктке
бір рет қана кіріп, әр пункттен бір рет
қана шығатынын білдіреді. Егер есепті
осындай шарттармен ғана шектесек, онда
біршеше контурдан тұратын маршруттар
аламыз. Өйткені есептің шарты бойынша
қалған пункттерді аралап болған соң
ғана алғашқы 1 пунктке оралу керек.
Бірнеше контурдан тұратын маршруттар
(4) шартын қанағаттандырмай-тынын, яғни
(4) шарты мұндай маршруттарды жоюға
мүмкіндік беретінін көрсетелік. Шынында
да, егер (4) теңсіздігін 1-пункттен
өтпейтін контур бойымен қоссақ:
.
Бұл мүмкін емес (мұндағы
– қарастырылушы контур доғаларының
саны). Ал әр пункттен бір реттен өтетін
контурдан тұратын маршрутта (4) шектеуі
орындалады:
кезінде алатынымыз
;
кезінде
(коммивояжер
пунктінен тікелей
пунктіне өткенде егер
,
онда
).
Енді коммивояжер 1 пунктінен бір рет
қана шығып, тек қана бір рет 1 пунктіне
кіреді деген шартты алып тастауға
болады, өйткені ол қалған шектеулердің
салдары болып табылады. Сондықтан (2)
мен (3) шарттары
мен
үшін жазылған. Сонымен қатар, есептің
математикалық моделінің өзінде
басқарылатын айнымалылар
,
тек қана екі мүмкін мәнді 0 немесе 1
қабылдауы айқын талап етілмейді.
Дегенмен, берілген шектеулер арқасында
ол айнымалылар шындығында тек екі
мәннің бірін: 0 немесе 1 қабылдайды. Осы
(4) шектеуіне
айырмасы кіргендіктен
көмекші айнымалалар мәндері нақты
константаға дейінгі дәлдікпен анықтала
алады
;
Сондықтан есептің математическалық
моделінде бұл айнымалаларға теріс
еместік шарты мен бүтін сндылық шарты
қойылмаған.