26. Магнитное поле стационарного тока. Дифференциальные уравнения для векторного потенциала магнитного поля стационарного тока. Формула Био-Савара-Лапласа
Рассмотрим магнитное
поле постоянного во времени (стационарного)
тока (рис. 2.67). Предположим, что распределение
плотности тока
внутри проводника, занимающего
ограниченный объем
,
известно.
Рис. 2.67. Система постоянных во времени токов
Уравнения Максвелла, описывающие данное магнитное поле:
в
;
вне
;
в
;
вне
.
(2.128)
Интегральная форма этих уравнений
;
.
Вводим векторный потенциал, как и в общем случае переменного во времени электромагнитного поля, равенством:
.
(2.129)
Векторный потенциал
‑ это такое векторное поле
,
ротор которого равен индукции магнитного
поля
.
При введении векторного потенциала таким равенством вторые уравнения (2.128), т.е. , удовлетворяются тождественно.
Как отмечалось
ранее, определение векторного потенциала
равенством (2.129) допускает его
неоднозначность. Так, если
является векторным потенциалом, т.е.
выполняется равенство (2.129), то векторное
поле
,
где
,
вообще говоря, произвольное скалярное
поле, также является векторным потенциалом.
В связи с этим на векторный потенциал можно наложить дополнительное условие (условие калибровки). В случае магнитного поля стационарного тока такое условие целесообразно, как это будет понятно ниже, взять таким:
.
(2.130)
Покажем, что условие (2.130) может быть наложено на векторный потенциал. Другими словами, из всего множества векторных потенциалов найдется такой векторный потенциал, для которого выполнено условие (2.130).
Действительно
пусть поле
является векторным потенциалом (
),
но
.
Организуем
новый векторный потенциал
.
Скалярную функцию
попытаемся найти из условия, чтобы новый
векторный потенциал удовлетворял
калибровке (2.130). Тогда получим:
,
т.е.
функция
должна удовлетворять уравнению Пуассона.
Но, как известно, уравнение Пуассона
имеет решение при любой правой части
.
Тем самым доказано, что найдется векторный
потенциал
,
удовлетворяющий условию калибровки
(2.130).
Заметим, что условие калибровки (2.130) следует из условия калибровки Лоренца (2.79), если в последнем учесть, что электромагнитное поле не изменяется во времени.
Если теперь подставить в первые уравнения (2.128) вместо его выражение из (2.129), то получим:
в
;
вне
.
Или (1.30):
;
.
Подставляя сюда условие калибровки (2.130), окончательно получаем:
.
(2.131)
Решение уравнений (2.131) найдем косвенным путем, используя аналогию с электростатическим полем зарядов, распределенных в объеме с плотностью . Мы имели:
;
.
Решением
этой системы уравнений является формула
(2.108):
.
Для магнитного поля стационарного тока
;
.
Поэтому,
по аналогии с электростатикой:
.
(2.132)
Для других проекций векторного потенциала, очевидно, будут справедливы выражения:
.
(2.133)
.
(2.134)
Умножая левые и
правые части выражений (2.132), (2.133), (2.134)
соответственно на орты
,
,
и складывая получившиеся выражения,
будем иметь:
.
(2.135)
Это выражение называется формулой объемного векторного потенциала.
Найдем индукцию магнитного поля:
. (2.136)
Вычислим ротор, стоящий под знаком интеграла:
(2.137)
Подставляя (2.137) в (2.136), получаем окончательно:
.
(2.138)
Эта формула называется формулой Био-Савара-Лапласа. Она позволяет по заданному распределению плотности тока в объеме V рассчитать магнитное поле в точке .
Если ток протекает по тонкому проводнику (рис. 2.68), то:
;
.
Рис. 2.68. К выводу формулы Био-Савара-Лапласа для случая, когда ток протекает по тонкому проводнику
В этих формулах
– площадь сечения проводника в окрестности
точки Р,
– проекция плотности тока
на направление
.
Подставляя последнее выражение для
в (2.138), получаем:
.
(2.139)