24Б. Разложение потенциала электрического поля по мультиполям. Третий член разложения
Третий член
разложения функции
(2.110)
имеет вид:
Подставим это в
точное выражение для потенциала и
обозначим через
‑
потенциал, обусловленный третьим членом
разложения. Тогда:
.
Здесь
.
Далее обозначено:
,
,
,
,
,
.
Потенциал можно записать в виде:
.
Здесь
– символ Кронекера:
.
Справедливость последней формулы для вытекает из того, что для каждого i в ней вычитается равная нулю величина. Действительно,
,
так
как функция
,
как и потенциал точечного заряда,
расположенного в начале координат,
является гармонической функцией во
всех точках (кроме начала координат, но
точка М
не может по условию находиться в начале
координат).
Теперь, меняя порядок суммирования, можно записать:
.
(2.116)
Система девяти
чисел
зависит только от величин зарядов и их
места положения. Эта система чисел
называется тензором квадрупольного
момента. Обозначим:
. (2.117)
Найдем входящую в (2.116) вторую производную:
Подставляя это выражение в (2.116) и используя обозначение (2.117), получим:
. (2.118)
Так выражается потенциал, обусловленный третьим членом разложения.
Найдем теперь
компоненты тензора
(2.117):
;
;
;
;
;
.
Следовательно, в силу симметрии тензора , число независимых компонент у него равно 6.
Легко заметить, что между компонентами существует связь:
.
Следовательно, число независимых компонент равно 5.
В качестве примера рассмотрим систему 4-х зарядов, расположенных в вершинах параллелограмма с чередующимися знаками зарядов (рис. 2.64).
Рис. 2.64. Квадруполь
Для этой системы
и
.
Поэтому в разложении потенциала первый
и второй члены будут равны нулю, а
отличным
от нуля будет третий член разложения,
который определяется тензором
квадрупольного момента. Такая система
зарядов называется квадруполем.
Как всякий
симметричный тензор, тензор квадрупольного
момента можно привести к главным осям,
т.е. существует такая система координат
x',
y',
z',
в которой отличны от нуля только
компоненты
,
,
.
Штрихи опустим. Тогда в новой системе
координат
;
;
.
Следовательно, в системе координат, совпадающей с главными осями, тензор квадрупольного момента характеризуется двумя независимыми компонентами.
Весьма важным является частный случай осесимметричного распределения зарядов (в системе координат, совпадающей с главными осями):
.
Тогда:
;
;
.
D называют в этом случае квадрупольным моментом.
Итак, при взятии трех членов разложения потенциал на далеких расстояниях ( ):
,
(2.119)
где
и
задаются выражениями (2.112)
и (2.117).
Вопросы и задачи к лекции 10
119-1. Запишите точное выражение для потенциала системы точечных зарядов.
120-2. Запишите точное выражение для напряженности электрического поля системы точечных зарядов.
121-3. Дайте определение дипольного момента системы точечных зарядов.
122-4. Запишите выражение для дипольного момента зарядов, расположенных в объеме V с плотностью ρ(Р).
123-5. Найдите
дипольный момент системы зарядов (
)
(рис. 2.65а).
Рис. 2.65. Различные системы точечных зарядов
124-6. Запишите выражение для потенциала диполя.
125-7. Выведите выражение для напряженности электрического поля диполя.
126-8. Найдите
,
,
,
(рис. 2.65б).
127-9. Что такое тензор квадрупольного момента?
128-10. Найдите дипольный момент и компоненты тензора квадрупольного момента системы зарядов, изображенной на рис. 2.65в.
129-11. Запишите выражение для потенциала, обусловленного третьим членом разложения.
130-12. Найдите выражение для напряженности электрического поля, обусловленной третьим членом разложения для системы зарядов, обладающих осевой симметрией (в системе координат, совпадающей с главными осями).
Лекция 11