12. Особливості вивчення теми«Первісна та інтеграл» в класах різного профілю (мета, зміст, методика викладання). Розвиток пізнавальних інтересів учнів в процесі вивчення теми.

Тема вивч. в 11 кл. Мета – введ. поняття про первісну (П.) і інтеграл (І,), операцію інтегрув. як обернену до диф.; показати застосув. інтег. до обчисл. площі криволін. трап. і об'ємів найпростіших тіл обертання. (Анал. Прогр. 11кл.).

Первісна. Мотивація вивч. теми поч. з заув. про те, що кожна операція, яку вивч. у ШКМ, має обернену. Уч. постають перед проблемою знаходж. оберненої операції для операції диф. Став. завдання: за відомою похідною у=f(х) деякої ф-ії знайти ф-цiю, яку наз. первісною для у=f(х).

О: первісною для даної ф-ції у=f(х) на заданому (а;b) наз., ф-ія F похід якої для всіх х з (а;b) =f(х) Ставиться питання про кіл-ть П. для даної ф-ції, і з'ясов., що П. для неї знаход. з точністю до соnst (це можна зробити ч/з приклади).

0сн. властив. П. поч. з наведення без дов. леми, яка використ. при дов. осн. вл. П. Лема: Якщо F(х)=0 на деяк. (а;b), то F(х)=С на цьому проміж., де С-стала.

Вивч. таблиця П, споч. ч/з приклади, і потім осн. власт.

Осн. вл. формул. у вигляді 2-х Т. Т1. Якщо на (а;b) ф-ія F(х) є первісною для f(х), то на цьому проміжку П. для f(х) буде також F(х)+С, де С=соnst

Т2. Будь-які дві П. ф-ії для однієї і тієї ж ф-ії відрізняються на соnst.

3. Правила знаходж. Первісних.

1. Якщо F(х) є П. для f(х), а G(х)-для g(х),то F(х)+G(х)-для f(х)+g(х).

2. Якщо F(х) є П. для f(х), k-стала, то kF(х) є П. для kfх)

3. Якщо F(х) є П. для f(х), а k0 i b-соnst, то 1/k F(kх+b) є П. для f(kх+b). Для кращого засвоєн. правил розгл. прикл. на застос. цих вл.

Інтеграл. Вв. поняття інтегр. поч. з пр. з-ч, що приводять до цього поняття. Обговор. те, що до понят. І. привели потреби розв. з-ч геом., фізики (пл. крив, трап., про масу неоднорід. стержня). Саме означ. носить пояснюючий хар-р: Нехай маємо неперервну ф-ю у=f(х) невід'ємну на [а;b], який розбив. на п рівних частин т.б: a=x₀<x₁<...<х_п=b, x_k–x_k-1=(b–a)/n=x

Утвор. добутки f(х₀)x,…,f(x_n-1)x i знайд. їх суму S_n потім обчисл. границю S_n яку наз., інтегралом ф-ції у=f(х) від а до b, де а i b — межі інтегр, f(х)—підінтегр. ф-ія, f(х)dх-підінтег. вираз, х-змінна інтег. Таке означ. належить Коші. Символ ввів Лейбніц.Термін «інтеграл» (лат. цілий) запроп. Я. Бернуллі.

У шк. на рівня академ. та станд. вивч. лише визнач. І., на проф. та погл. визн.+невизнач. І.

Далі рогляд. поняття «визн. інтег.» (ч/з паралельні рис. Розбиття площі під кривою на прямокутники). Ввод. ф-ла Н-Лейбніца ч/з розгляд. задачі про обчисл. пл. крив. трапеції: . Можна ознайом. з понят. невизн. І.

Учням треба поясн., що визн. І.-це конкр. число, а невизн. І.-сімейство ф-цій. Застос-чи визн. І. до розв. з-ч, доцільно підбирати їх відпов. до профілю. Велику увагу слід зосередити на 3-х правилах знаходж. первісних, на розуміння та використ. ф-ли Н-Лейбн.

В кл. мат. проф. звернути увагу на застос. непер-сті ф-ції відносно знаходж. І. (Напр. на ф-я не є непер. Необх. продемонстр., що не лише знаходження визн. І. допомагає знайти площу, але й навпаки. Доціл. також показати і метод інтегрув. частинами: .

Прогр. передбачає ознайом. учнів із застосув. І. насамперед для обчисл. площ плоских фігур. Потрібно наголосити, що в геом. І. використ. не лише для обчисл. площ фігур, а й для визнач. об’ємів тіл, довжин дуг кривих ліній, площ поверхонь тіл. Доціл. навести прикл. задач на застос. І. у фізиці (обчисл. шляху за законом шв., обч. роб. змінної сили, к-сті електрики, маси неоднорідн стержня), техніці, економ.

Фізичн. зміст визн. І.: під час прямол. руху переміщ. s чисельно = .

Геом. зміст: площа крив. трапец.

З основних власт. І. в шк. курсі можна розгл. п'ять:

По кожному із застосувань І. розв'яз. задачі, в яких подано алгоритм розв'язання подібних вправ. Основні методи інтегрування, а) метод розкладання, б) метод підстановки (заміни змінної), в) метод інтегрування частинами.