9. Вивчення тотожних перетворень у старших кл.

Вивчення виразів та їх перетворень займає в курсі алгебри значну частину часу. Це не дивно, бо перетворення виразів - основа для розв'язування рівнянь і нерівностей, доведення тотожностей, обчислення значень буквених виразів. Вони широко використовуються в інтегральному і диференціальному численні.

З основної школи діти знають, що тотожними є перетворення при яких не змінюється ОДЗ, застосовується розкриття дужок, внесення в дужки, групування, зведення подібних доданків, винесення спільного множника за дужки, використання формул скороченого множення.

Тотожні перетворення дуже часто використовуються в процесі розв’язування р-нь та нерівн. При чому, р-ня (нер.) є рівносильними якщо після перетворення не змінюється ОДЗ, а дане р-ня (нер.) мають одні й ті ж самі корені.

Якщо виконане не рівносильне перетворення можна отримати сторонні корені або втратити корені. Сторонніх коренів можна позбутися використовуючи перевірку, але втрачені корені за допомогою перевірки не завжди можна знайти.

Тотожні перетворення тригонометричних, іррац., показник. та логарифмічних виразів базуються на тих знаннях, що закладені в основній школі на знаннях основних формул і тотожностей, властивості відповідних ф-цій.

Дуже важливо, щоб учні розуміли нюанси, і це також закладається в основній школі, зокрема, чим відрізняються записи:

, та ,

Вписати приклад з логарифмом

Вимоги під час вивчення тотожних перетворень:

• розрізняти числові і буквені вирази;

• розуміти зміст степеня з натуральним показником, одночлена, многочлена, алгебраїчного дробу, цілих і дробових виразів, степеня з цілим показником;

• уміти зводити до стандартного вигляду одночлени і многочлени;

• знати формули скороченого множення і вміти застосовувати їх до тотожних перетворень виразів;

• уміти додавати, віднімати, множити многочлени і розкладати їх на множники;

• уміти скорочувати, додавати, віднімати, множити, ділити алгебраїчні дроби;

• уміти зводити дробові вирази до вигляду дробу;

• уміти перетворювати вирази, що містять корені.

Послідовність вивчення тотожних перетворень, при якій прямі і обернені перетворення вивчаються паралельно, виявилась вдалою і її залишено в чинних підручниках алгебри.

Тотожні перетворення – це перетворення виразів, а рівносильні – формул.

10. Методична схема введення та вивчення в старших класах. Можливості інтенсифікації вивчення теми на основі використання схем та знакових моделей.

Чималу частину курсу алгебри і поч. ан. становлять вчення про ф-цію

У результаті вивч. курсу учні повинні мати уявлення про триг., показ., лог. і степ. ф. знати їх вл. та, спираючись на них, будувати граф, цих ф.; розв'язувати відповідні рів-ня і нерів, використ. ТП;

На перших уроках в 10 кл доцільно повтор, і розширити відомості про ф-цію. Спочатку треба пригадати поняття «мн», з яким уч. могли стикатися в курсі геом. Слід заув., що це загальномат. поняття належить до не означ, понять і широко використовується при вивч. ф., а також рів-нь, нерів, їх с-м. Далі варто пригадати загальне поняття ф. (із 7 кл): залеж. однієї змінної від ін, за якої кожн. знач. незалеж. змін відповідає єдине знач залеж змін, назв ф. Згадуються поняття обл..визн. і обл зн способи, задання ф.

На цьому етапі доцільно вв. означ, числ. ф -від-сть, за якої кожн. x з мн. вставиться у відп-сть єдине число y

Варто розглянути ф-ії у = [х],у = {х} та їх граф., вони зручні як приклади розривних ф-цій та періодич, що визначені на мн. К. Треба пригадати озн.  та  ф-цій. Вч. варто сформулювати алгоритм дослідж ф-ції на  та  на певній мн М. Для дов.  () ф-ції на мн М: 1) вибрати х2>х1. х1, х2  М 2) скласти різницю f(х2)-f(х1); 3) встановити знак різниці: якщо вона додатна (від'єм) - ф-ція ().

Поняття парн. і непарної ф-ій за чинною програмою не вв. в р_сн. шк. При вв. цих понять насамперед звертають увагу на те, що цю вл. мають ф-ії, у яких обл. визн. є мн. чисел, симетричною щодо поч. коор. Це означає, що для будь-якого х з обл.. визн. -х також належить обл. визн. Крім того, для парних ф-ій викон. ум. f(х)=f(-х) та  xD  -xD, а для непарних - f(-х)=-f(х) для будь-якого х з обл. визн.

Доцільно сформулювати алгоритм дослідж. ф-ій на парн. (непарн.). Щоб дослідити ф-ію на парність повинні виконуватися 1) і 2) вл. Якщо не виконується хоча б одна зі згаданих суттєвих вл., то ф-ція не належить ні до парн, ні до непар ф-ій. Граф, парних ф. симетр. осі у, а непарної - поч. коор.

Доцільно навести Пр., щоб переконати уч. у необх, виконай 1) вимоги алгоритм

Пр. при х1 збігається з парною ф-єю

(х)=х2. Проте ця ф-ція не є парн, оскільки її обл.. визн не симетр. щодо поч. коор. Справді, x = -1 входить до обл визн, а -x = 1 не належить цій обл.

Далі доцільно вв. поняття період, ф-ції. Поняття період ф-ції можна вв. споч., використовуючи графік f(x) = {х}. Уч. за граф, помічають, що коли до будь-якого знач. х додати число T= 1, то знач ф-ції не змін. Воно не змін, якщо до х додати пТ, де n — Z число. У такому випадку ф-ція f(x) = {х}. період з найм. додат. T=1.

О. Ф-ція у =f(х) назв, періодичною з періодом Т0, якщо для будь-якого x- і обл. визн виконується f(х + Т) = f(х), тобто знач, ф-ії не змінюється.

Ще одним Пр. відомої періодичної ф-ії може бути лінійна функція у = aх + b при а = 0(але найменшого Т не існує).

З вл, період, ф-ії випливає: для побудови граф. період. ф-ії з періодом T досить побудувати граф, на [0; Т], а потім паралельно перенести графік вліво і вправо по осі х на відстані пТ, де п - будь-яке N число. Серед інших вл. ф-ії доцільно вв. озн. точок mах і min ф-ції.

Вв. поняття ф-ії доцільно за схемою:

1.Пр. залежностей, які приводять до даного виду ф-ії. 2.Формулювання озн. ф-ії, що ввод, З.Побудова граф. і читання вл. 4. Застосування вл.

Отже, вивчення ф-цій у ст. класах здійснюється за такою схемою:

1.мотивація – розглядаються конкретні ситуації або задачі, що підводять до даного поняття.

2.пропонується озн. ф-ції.

3.задається формула, розглядаються параметри, що входять до формули.(на відміну від осн. школи спочатку досліджують ф-цію, розгл. її властивості (обл.визн, множ.знач, парність, НП-сть, проміжки знакосталості, нулі ф-ції, проміжки монот., обмеженість))

4.будується графік

5.застосовуються вл-сті ф-ції до розв’яз. р-нь, нер.та інших завдань.

На рівні станд. та на академ. рівні як і в основній шк. можна розглядати вл-сті ф-цій спираючись на графік.

11. Особливості вивчення теми «Похідна та її застосування» в класах різного профілю (мета, зміст, методика викладання). Використання нестандартних форм організації пізнавальної діяльності старшокласників при вивченні теми.

Розділ алгебри та поч. ан. “Пох. та її застос.” займає значне місце у шк. курсі м-ки, оск. має велике прикладне значення. Анал. прогр. 11 кл. (станд. 14 год, академ. 26 год, проф. 50 год (із + границі та непер), погл. 35 год + 15 год гран. та непер). Вимоги до уч. Осн. складність - навчити учнів застос. похідну для досл. ф-цій, розв’яз. прикладних задач алг. та геом.

З істор. розвитку мат.ан. відомо, що до відкриття похідної (П) прийшли незалежно Лейбніц (розв. геом. з-чу про знаходж. полож. дотичн. до кривої у т.) і Ньютон (розв. з-чу механ. про визнач. миттєвої шв.). У шк. курсі ч/з обмеж. часу докладно розгляд. одну з цих з-ч. Перевагу слід віддати з-чі про мит. шв., оск. з нею учні вже ознайом. на фіз. Але потім обов’язк. слід демонстр. ще й геом. зміст. В процесі розв'яз. варто виділ. 4 кроки, які розкрив. зміст П.

Щоб учні неформально сприйняли означ. мит. шв., варто на конкр. задачі з числовими даними показ., що значення cеред. шв. прямує до певної границі, яку природно вважати числовим значенням шв. в даний момент часу t₀, тобто значенням мит. швидкості. З-ча. Зн. шв.тіла, що вільно падає, в час t₀=4с, що минув від поч. руху.

Узагальнюючи спосіб розв'язув. згаданих з-ч, приходять до поняття П. Нех. ф-ція у=f(х) задана на деякому (а;b) і х₀ - т. з (а;b) Виконаємо 4 кроки:

1. надаємо знач. х₀ довіл. приросту х (x може бути додат. або від'єм.), х₀ + х з (а, b);

2.обчисл. в т. х₀ приріст ф-ції

3.складемо відношення

4. зн. lim цього віднош. при x0.Якщо така границя існує, то її наз. П. ф-ї f(х) в т.х₀ і познач. у'.

О. П. ф-ї у=f(х) в т. х₀ наз. границя віднош. приросту ф-ї до прир. аргументу за умови, що х0, а границя існує.

Заув. Перш ніж ввод. поняття П., варто привчити учнів до 3-х різних символів познач. похідної (у ^/ і f ^/(x) ввів франц. матем. Лагранж; позначення приросту  ввів Ейлер). Кроки 1-4 задають правило відшук. П.

Для глибокого усвідомл. учнями означ. П доціл. зразу з'ясувати її мех. і геом. зміст. Мех. зміст П виплив. з задачі про мит. шв. Учні самі здатні зробити висновок, що П = миттєвій шв. нерівномірного руху (механ. зміст П). Геом. зміст - із задачі про дотичну до кривої у певній т.; похідна в т. х₀ = tg кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом до Оx у т. з абсцисою х₀.

Осн. т-ми про П: 1) про непер-сть диференц. в т. ф-ції 2) про П суми, добутку і частки 2х ф-цій; 3) про П степен. і складеної ф-ції.

Застосув. П. В алгеб. до дослідж. і побуд. Графіків ф-цій, в геом. для знаходж. рів-ня дотич. П. викор. в наближ. обчисл., для наближ. розв'яз. рів-нь, дослідж. і відокремл. коренів рів-нь, спрощ. виразів, довед. тотожн-й і нерівн., знаходж. біноміальних коеф. і довед. ф-ли бінома Ньютона.

У шк. курсі алг. і поч. анал. на рівні обов'язк. результатів навчання, обмеж. застосуванням П. до досл. ф-цій і побуд. графіків: 1) на монотон.; 2) екстремум; 3) досягнення найб. і найм. знач. Але на гуртках та факульт., в класах з погл. вивч. мат. слід ознайомити учнів з ін. застос похідної (опуклість, знах. точок перегину).

Обов’язк. уч. мають вміти викор. геом. зм. П. для знах. кута між прямою та Ох. Учні мають розуміти, що П. ф-ї теж є ф-ція. Найбіл. складність викл. завд. на знах. П. склад. ф-ції.

Вивч. П. в кл. екон. проф. необх., щоб уч. вміли за доп. П. знах. граничну виручку, велич. витрат вироб-тва, обсяг продукції.

В кл. гуманіт. проф. слід приділ. увагу розв. прикл. задач, зокр. на найбіл. та наймен. знач.

В кл. природн. проф. слід розгляд. ф-ції, що опис. реальні процеси; розвити навики побуд. ескізу графіка П. за граф. ф-ції і навпаки.