25. Методика вивчення рівнянь та нерівностей в старшій школі. Стимулювання старшокласників до самоосвіти в процесі вивчення теми

З рівняннями учні знайомляться ще в 5 класі, але розв’язують їх за допомогою правил (знаходження невідомого доданка, множника тощо). В 6 класі за допомогою цих же правил та переносу доданків з однієї частини в іншу. В 7-9 класах розв’язують рівняння використовуючи властивості вивчених функцій (лінійної, квадратичної тощо), спосіб групування, винесення спільного множника за дужки, формули скороченого множення.

В 10-11 класах за програмою учні вивчають такі рівняння та нерівності: трансцендентні (тригонометричні, показникові, логарифмічні) та ірраціональні. Це пов’язується з вивченням властивостей відповідних функцій, а також використовуються ті знання та вміння учнів, які вони набули розв’язуючи алгебраїчні рівняння та нерівності. Не існує загального способу розв'язування трансцендентних рівнянь і нерівностей. Проте в умовах старшої школи доцільно ознайомити учнів зі с-ми розв'язування найпростіших та окремих видів таких рівнянь і нерівностей, до яких зводиться розв'язування складніших. Корисно звести в систему окремі види рівнянь і нерівностей за способами їх розв'язування. Чинна програма вимагає, вміти розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння та деякі нескладні види, які зводяться до найпростіших; навчились розв'язувати нескладні показникові, логарифмічні ірраціональні рівняння, нерівності і їх системи.

В процесі розв’язування рівнянь і нерівностей дуже часто використовуються тотожні перетворення. Причому рівняння є рівносильними, якщо при перетворенні не змінюється одз і дані рівняння мають ті самі корені. Якщо виконано не рівносильні перетворення можна отримати сторонні корені або втратити корені. Сторонніх коренів можна позбутися перевіркою, а знайти втрачені можна не всі.

Показниковими називаються такі рівняння, в яких змінна міститься у показнику.

У шкільному курсі математики показникові рівняння та нерівності розв’язуються способами зведення обох частин до однакової основи, логарифмування обох частин (звертається увага на основу), введення допоміжної змінної, винесення спільного множника за дужки, графічний спосіб.

Логарифмічні рівняння. Під час розв'язування логарифм рівнянь використовуються логарифмічні тотожності, властивості логарифмів і операція потенціювання. Важливо звернути увагу учнів на те, що оскільки логарифмічна функція визначена лише на множині додатних чисел, то варто ще до розв'язування рівняння знайти область визначення виразів, що входять до складу рівнянь. Спосіб потенціювання; введення допоміжного невідомого; застосування формули переходу від однієї основи логарифма до іншої; графічний спосіб – способи розв’язування логарифмічних рівнянь.

Логарифмічні нерівності. До найпростіших логарифмічних нерівностей слід віднести нерівності вигляду log_af(x)>b (або log_af(x)<b), log_af(x)>log_a(x) (або log_af(x)<log_a(x)). Теоретичною основою розв'язування логарифмічних нерівностей є властивість монотонності логарифмічної функції. Способи розв'язування логарифмічних нерівностей аналогічні способам розв'язування логарифмічних рівнянь.

Ірраціональні рівняння. Ірраціональними називають рівняння, в яких невідома міститься під знаком кореня. Аналогічно означаються ірраціональні нерівності. Слід звернути увагу учнів на те, що до складу ірраціональних рівнянь і нерівностей входять лише арифметичні корені. Така домовленість дає змогу уникнути неоднозначності в тлумаченні значень коренів. Доцільно ознайомити учнів з двома способами розв'язування ірраціональних рівнянь: піднесення обох частин рівняння до степеня з показником, рівним показнику кореня, що входить до рівняння; спосіб введення допоміжної змінної.