21. Особливості вивчення теми «Тіла обертання».

Цією темою завершується вивчення властивостей фігур у просторі. (Мета та що учні повинні знати в програмі).

У підручнику Погорєлова, як і в більшості інших шкільних підручниках, йдеться про тіла обертання і відповідні їм поверхні: циліндр – поверхня циліндра, конус – поверхня конуса, куля-сфера.

Поняття фігури обертання вводять так: спочатку розглядають фігуру утворену оберт. точки навколо осі (коло), після чого пояснюють

-нехай дано довільну плоску фігуру F , яка лежить в одній площині з віссю l. Обертаючись навколо кожна точка фігури F, що не належить l опише деяке коло. Об’єднання всіх таких кіл, а також всіх точок F, які належать l назив. фігурою обертання.

Одна з пой простіших фігур обертаннят-циліндр. Його означають як фігуру утворену обертанням прямокутника навколо осі, що містить його сторону. Аналогічно трактують у школі і поняття конуса: фігура утворена обертанням прямокутного трик. навколо осі, що містить його катет. З циліндром конусом і зрізаним конусом на уроках мат-ки і геом.. учнів знайомлять в основній шк. Там вони вчаться малювати ці фігури, вимірювати їх висоти, діаметри основ. У 11 кл повторюються і поглиблюються ці знання, розглядають кулю і сферу та їх частини і деякі інші тіла обертання.

Кулю можна означити як фігуру утворену обертанням півкруга навколо його діаметра. Так можна ввести поняття сфери: множина точок простору, однаково віддалених від дано точки, а потім означити кулю, як об’єднання сфери і її внутрішньої області.

При вивченні кожного з тіл обертання корисно зразу ж дати учням правила-орієнтири їх зображень. Запропонувати таке правило-орієнтир: 1) побудувати прямокутник-осьовий переріз циліндра, в якому нижню основу .зобразити штриховою лінією;

2) беручи верхню і нижню основи прямокутника за діаметри основ циліндра, намалювати рівні еліпси, при цьому в нижній основі частину еліпса, яку не видно, зобразити штриховою лінією.

Піраміда, вписана в кулю. Якщо немає спеціальних вказівок щодо розміщення основи піраміди відносно верхньої або нижньої пів-сфери, то найбільш наочне зображення комбінації дістанемо, коли основу піраміди впишемо з переріз нижньої півсфери.

Призма, вписана в півкулю. Доцільно звернути увагу на те, що в даній комбінації просторових фігур призма пряма, а верхня і нижня основи її вписані в рівні круги, що лежать в паралельних січних площинах на однаковій відстані від центра кулі.

Куля, вписана в пряму призму.

Куля, вписана в конус або правильну піраміду (означ в підр).

При вивченні даної теми від учнів вимагається (див програму)

22. Особливості вивчення теми «Геометричні побудови у просторі. Зображення просторових фігур у просторі» у класах різних профілів (мета і зміст у програмі)

На рівні обов'язкових результатів навчання програма вимагає від учнів уміти зображувати просторові геометричні фігури, вказані в умовах теорем і задач, виділяти відомі фігури на рисунках і моделях. Уявним побудовам у курсі стереометрії треба приділяти належну увагу.

Для формування в учнів просторових уявлень і розвитку уяви важливо починати введення понять, аксіом, теорем і багатьох задач стереометрії з розгляду моделі і наочного рисунка. Модель і рисунок дають змогу учням виділити ознаки просторових фігур і абстрагуватися від несуттєвих, виконати узагальнення, помітити потрібні відношення і зв'язки між елементами фігур.

Стереометричний рисунок, який є найдоступнішим і найпоширенішим засобом унаочнення, все ж дає просторові образи у спотвореному вигляді, що утруднює уяву. Завдання викладання геометрії - розвивати в учнів три якості: просторову уяву, практичне розуміння і логічне мислення.

Перша поява многогранників і тіл обертання пов'язується з їх моделями. Учням пропонується спочатку зробити розгортку І після склеювання дістати многогранник, який вивчається.

Зображення просторових фігур на площині

Рисунки просторових фігур - один з важливих засобів навчання, спрямований на реалізацію дидактичного принципу наочності.

Правильно і наочно виконаний рисунок просторової фігури сприяє розумовій діяльності учнів, а неправильне і не наочне зображення, навпаки, гальмує розумову діяльність і часто стає однією з причин невміння правильно розв'язати задачу. Формування в учнів умінь виконувати зображення просторових фігур на площині відбувається ефективніше, якщо поступово і систематично давати їм правила-орієнтири виконання цих зображень.

1. При виконанні стереометричного рисунка треба спиратися на властивості паралельної проекції.

2. Зображення має бути наочним, тобто давати просторове уявлення оригіналу. Тому слід рекомендувати учням зображувати призми і піраміди так, щоб було видно найбільшу кількість їх граней, щоб не збігалися зображення їх ребер. Кулю зображують так, щоб її перерізи площинами мали вигляд еліпсів, відповідно еліпсами мають зображуватися основи циліндрів і конусів.

3. Зображення має бути простим для виконання, тобто не потребувати побудов, що безпосередньо не стосуються розв'язання задачі або доведення теореми.

4.Треба орієнтувати учнів на те, що починати виконання рисунків призм і циліндрів зручніше з верхньої основи, бо в зображенні верхньої основи видно всі лінії, а проводити ребра або твірні вниз зручніше, ніж угору.

На рівні обов'язкових результатів навчання програмою і підручником Погор. передбачено найпростіші випадки побудови перерізів (метод відповідності і метод слідів). На гурткових або факультативних заняттях, в класах з поглибленим вивченням математики доцільно ознайомити учнів із загальними методами побудови перерізів многогранників. Розв'язування задач на побудову перерізів зводиться до знаходження точок перерізу січної площини з ребрами многогранника.

Зображення тіл обертання та їх комбінацій з многогранниками

При вивченні кожного з тіл обертання корисно зразу ж дати учням правила-орієнтири їх зображення. Виконання рисунка циліндра не викликає в учнів особливих труднощів, і все ж варто запропонувати їм таке правило-орієнтир: 1) побудувати прямокутник - осьовий перерв циліндра, в якому нижню основу зобразити штриховою лінією; 2) беручи верхню і нижню основи прямокутника за діаметри основ циліндра, намалювати рівні еліпси, при цьому в нижній основі частину еліпса, яку не видно, її зобразити штриховою лінією.

Зображуючи конус, треба враховувати, що наочний рисунок можна дістати тоді, коли основу конуса зображено у вигляді еліпса. Однак це означає, що в оригіналі висота конуса нахилена гід кутом до горизонтальної площини, і тому більшу частину поверхні конуса видно. Щоб показати це на рисунку, твірні, що відокремлюють ту частину поверхні конуса, яку видно, від тієї, якої не видно, треба провести відповідним чином Правило-орієнтир у цьому випадку може бути таким: 1) спочатку провести діаметр основи конуса штриховою лінією, а потім його середини провести перпендикуляр-висоту конуса; позначити на проведеному перпендикулярні вершину конуса; 2)зобразити в основі еліпс, провівши штриховою лінією його невидиму частину; 3) провести діаметр приблизно під кутом 10⁰ до горизонтального діаметра; 4) провести дві твірні симетричні відносно висоти. Якщо треба зобразити осьовий переріз конуса, то можна провести твірну, яку видно.

23. Особливості вивчення теми «Геометричні величини (площа, об’єм)» у класах різних профілів (мета, зміст у програмі)

В загальному випадку означення поняття величини не має. Геометричні величини водночас є фізичними величинами. Поняття величини є основним як і поняття числа в математиці. Для деяких величин вводяться аксіоми. Розмір величини існує об’єктивно і не залежить від одиниці виміру. Одиниці виміру величин можуть бути різні і від цього буде залежати значення величини: 10 см = 1 дм = 0,1 м.

В шкільному курсі математики величини вивчаються в декілька етапів:

- пропедевтика в 5-6 класах (на наочній основі: наприклад, за допомогою палетки – квадрат прозорого матеріалу, який поділено на квадратики, 1 квадратик береться за одиницю площі(1 квадрат = 1 см²). Палетку накладають на фігуру площу якої потрібно виміряти, спочатку рахуються цілі квадратики, потім ті які можна доповнити один одним, щоб отримати цілий квадратик. Кількість квадратиків буде дорівнювати площі даної фігури);

- в 7-9 класах в шкільному курсі планіметрії розглядаються відрізки та їх довжини, кути та їх міри й площі фігур, причому вводиться відповідна аксіоматика (наприклад: кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою; кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається променем, який виходить з вершини кута і проходить між його сторонами), але в сучасних підручниках з геометрії аксіоми називаються властивостями.

Щодо площ поверхонь геометричних тіл, то обчислення площ многогранників не становить труднощів, оскільки задача зводиться до обчислення площ граней (многокутників). Обчислення площі сфери дещо складніше. Проте і для всіх тіл обертання важливо вміти знаходити відповідні формули площ поверхонь, використовуючи підхід, аналогічний до доведення формули площі круга.

Аксіоматика введення площ:

1)будь-яка фігура має площу, що виражається додатною величиною;

2)рівні фігури мають однакові площі;

3)якщо фігуру розбивають на декілька фігур, то площа даної фігури дорівнює сумі площ даних фігур;

4)площа квадрата із стороною 1 одиниця дорівнює 1 одиниця в квадраті.

Можна узагальнити всю аксіоматику і замість слова «площа» говорити про величину. У старшій школі розглядаючи об’єми і площі поверхонь можна це зробити або за аналогією з розглядом площ у планіметрії або переходячи від даного узагальнення до аксіом через які можна ввести поняття об’єму.

Перше уявлення про об'єми тіл і їх обчислення учні дістають у курсі математики 5 класу у зв'язку з вивченням прямокутного паралелепіпеда. За аналогією з введенням поняття площі фігури в курсі планіметрії запроваджується поняття об'єму спочатку простих тіл. Так само формулюється означення об'єму простого тіла як додатної величини, числове значення якої має три властивості. Далі доводиться формула об'єму прямокутного паралелепіпеда.

Рівновеликими називаються фігури, які мають рівні площі (якщо об’єми рівні – то це рівновеликі тіла).

Зв'язок геометрії з алгеброю та початками аналізу можна продемонструвати застосовуючи визначений інтеграл до виведення загальної формули об’єму фігури:

V(x) = V_ц = V_мц<V<V_вц r = m = f(x)

R = M = f(x+h) h 0

V=

Знайти об’єм кулі:

=f(x)

V=