18. Особл. Вивчення „перпендикулярність пp. І пл. У про-рі

Зміст навч. матеріалу цієї теми можна розділити на 3 блоки:

1. пер-лярність пр. у про-рі;

2. пер-лярність пр. і пл.;

3. пер-лярність пл.

На 1-ому етапі повтор. відомості з планіметрії(перпендик. опущений з точки на пряму, похила, проекція похилої). Учні мають пам’ятати, що рівні похилі, проведені з одної точки на одну пряму мають рівні проекції. На цьому етапі ознайомлюємо учнів з символічними записами Пр_а(АС)=НС. Виробляємо поняття про те, що проекцією назив. відрізок, один кінець якого основа похилої, другий-основа перпендикуляра.

Спочатку вв. означ, пер-лярності відповідних об'єктів, потім формулюється і дов. ознака їх пер-лярності.

Для пр. і пл. розгляд, з-ча на побудову пер-них пр. і пл., дов. єдиність такої пл. та вл. пер-лярної пр. і пл. Особ. місце і роль у цій темі належать навч. матеріалу, що стосується пер-ляра і похилої до пл. та Т. про три перпендикуляри. Остання застосовується при розв'яз. задач, пов'язаних з многогранниками і тілами обертання. Схема дов. цієї Т. часто послуговуються в з-чах. Тому важливо домогтися того, щоб усі уч. вміли дов. Т. про З перпендикуляри.

У навч. метод, літ-pi відомі 2 види озн. пер-лярних пр. у просторі;

1. дві пр. назв пер-лярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом;

2. дві пр. назв взаємно пер-лярними, якщо кути між ними = 90 градусів.

Друге озн. охоплює і пр, які не перетин, зокрема мимобіжні пр. Відповідно до цього прийнято і 2 види озн. пер-лярних пр. і пл.:

1.пр., що перетинає пл. назв пер-лярною до пл., якщо вона пер-лярна до будь-якої пр, яка лежить в даній пл. і проходить через точку перетину.

2.пр. і пл. назв пер-лярними, якщо пр. пер-лярна до кожної пр., яка лежить у пл

Щодо озн. пер-лярних пл., то в уч, за аналогією з озн. пер-лярних пр. виникає бажання означити їх як такі, що перетинаються під прямим кутом.

Однак відразу ж виникає проблема: що розуміти під кутом між пл? У Погорєлова дві пл., що перетинаються, назв пер-лярними, якщо третя пл., яка пер-лярна до пр, перетину цих пл. перетинає їх по пер-лярних пр.

Т., що стверджують ознаки пер-лярності в просторі 2 пр, пр. і пл., 2 пл, можна дов. різними сп. Здебільшого дов. викон. шляхом розгляду парал-мів і ланцюжка рівних Д.

Т. про 2 пер-ляри І Т. про 3 пер-ляри можна було б дов. век-ним методом. У Погорєлова пропонується одна Т. про 3 пер-ляри, до формулювання якої входить пряме і обернене твердження. Тому і в дов. Т. варто виділити дві частини, в яких дов. дост. і необх.

Перед доведеням цієї теореми необхідно задати учням такі питання:

Що значить пряма перпенд. площ.?

Яка є ознака перпендикулярності прямої і площини?

Яким чином можна задати площини?

Доведеня цієї теореми надає можливість організувати диферент. роботу на уроці, якщо учні вже мають необх. рівень знань, то доведення тереми у прямому напрямку організовуємо фронтально(вчитель працює у дошки, залучаючи до роботи учнів), а теорему обернену учні доводять самост. (на більш високому рівні без підруч.).

Якщо вчитель не впевнений у тому, що рівень знань учнів та рівень їх підготовленості до сам. роботи належні, то то і пряму і обернену теорему вчитель доводить у дошки по можливості залучаючи учнів.

Доцільно звернути увагу уч.на те, що хоча в Т. треба дов. пер-лярність 2 пр. у просторі, скористатися ознакою пер-лярності 2 пр. у просторі тут не можна. Тому дов. піти ін. шляхом, виконавши додаткову побудову і скориставшись вл. пер-лярних пр. і пл., ознакою та означ, пер-лярності пр. І пл.

Під час вв. означ, дов. Т. і розв'яз. з-ч на тему „пер-лярність пр. і пл." треба широко використовувати наочність.

Одна з теорем, яка сприймається учнями найважче – ознака перпенд пр.. і пл., тому вчитель доводить її біля дошки, перед цим повторивши означ. перпенд. прямої до пл.

19. „Координати і вектори у просторі".

Ця тема продовжує розвиток на матеріалі стереометрії ідеї корд, і вектор, методів з курсу пла-рії. Особл. теми є те, що багато означ, понять пла-рії без змін «переходять у простір» (перетворення і симетрія фігур, вектор, абсолютна величина в-ра). Без зміни формулюється і низка тверджень, що виражають вл. перетворень і в-рів (вл.  перенесення, Т. про вл. рівних і колінеарних в-рів, скалярного добутку). У зв'язку з цим перед вивч. нов. матеріалу треба повтор, відповідні відомості з пла-рії й організувати с/р уч. з нов.. поняттями і Т. на осн. аналогій. Для забезпечення ефективного повтор, і засвоєння нов. матеріалу доцільно використ. наочні посібники, в яких зіставляються відомості про в-ри на пл. і в просторі. З цією метою можна виготовити табл.., послуговуватися персон, комп., кодо позитивами. При вв. декарт. корд, у прос-рі треба нагадати уч. відомості про корд. т. на пр. і пл. Дов. формули відстані між 2 т. і корд, серед, відрізка в просторі. Після постановки завдання знайти і дов. формулу відстані між 2 т. А₁(х₁; у₁; z₁) і А₂(х₂; у₂; z₂)(доведення в Погорелові) у просторі і корд, серед, відрізка АВ уч. можуть висловити гіпотезу: за аналогією з відповідними формулами пла-рії вони мають вигляд

Дов, формули відстані між 2 т.викликає значні труднощі в уч. на етапі обгрунтування побудови прямокутного  в просторі, до того ж такого обгрунтування в підручнику немає. Тому доцільно організувати колективний пошук дов.

Можна запропонувати уч. дов. формули корд, серед, відрізка у про-рі сам. за підруч. при виконанні д/з, а на наступ. уроці перевір, засвоєння матеріалу. Необхідно навчити учнів використовувати векторний і координатний метод у процесі доведення теорем та розв’язування задач.

Після повтор, правила-орієнтиру можна проілюструвати застосування корд, методу в сте-рії Пр. розв'яз. такої з-чі.

Задача. У сферу вписано правильну чотирикутну піраміду з двогранним кутом при основі . Знаючи, що пл. сфери = S, знайти пл. основи піраміди.

Перед вивч. теми „Вектори в сте-рії" треба запропонувати уч. повтор, за підруч. навч, матеріал, що стосується в-рів на пл., зокрема пригадати: означ, в-ра, його модуля, рівних ве-рів, корд, в-ра, вл. рівних в-рів, заданих корд., правила знаходження суми, різниці двох в-рів, добутку в-ра на число, формулювання в-рної рів-ті, означ, скаляр, добутку і його вл. через модулі і кут між ними.

Розв'яз. сте-ричних з-ч в-ним методом. Треба запропонувати уч. пригадати правило-орієнтир і алгоритм розв'яз., записані заздалегідь на таблиці.

Задача. Дов., що коли дві пари мимобіжних ребер тетраедра взаємно перпендикулярні, то й ребра третьої пари також взаємно перпендикулярні.

Доведення. Застосуємо до точок А, В, С, S в-рну рівність для чотирьох точок. Оскільки ASBC, то Через те, що SCAB, маємо Звідси ,a. це означ., що CASB

У старшій шк. доцільно пропонувати уч. поряд із стере-чними з-чами, які доцільно розв'язувати в-рним методом, і планіметричні.