14. Особливості вивчення теми«Показник. Ф-ція» в класах різного профілю (мета, зміст, методика викладання). Розви-ток пізнавальних інтересів учнів в процесі вивчення теми.

Тема вивч. в 11 кл. (Аналіз програм). На етапі мотив. Доціл. навести пр. залежн., які вираж. ч/з показн. ф-цію. Прикл. Темпер-ра Т 100г піску, нагрітого до 100°, змін-ться при 0° залежно від часу t за ф-лою Т= 100-0,8^t. В цьому пр. ф-ла задає ф-цію, для обчисл. якої сталий множник доводиться множити на степінь сталої зі змінним показн., яка має цілком певне дод. знач. Найпрост. випадком таких залежн. є ф-ція виду y=a^x, яку наз. показн. О. Показн. ф-цією. наз. ф-цiя. у=a^x , де а -задане дод. число, а1, х і у-змінні. Побудову граф. y=2^x, y=(l/2)^x доцільно виконати за допомог заздалегідь складеної табл. знач. ф-цiї з кроком 1/4 (паралельно). Вл. ф-ції уч. споч. «читають» за граф., а вч. дов. їх аналіт. Попередньо треба повтор. вл. степ. ф-ції.

1) Обл. визн. у=a^x є мн. вcix R

2). ПФ набуває лише дод. значень.

3) ф. ні парн., ні непар. (заг. виду)

4)Якщо а>0, за х>0: a^x>1,за х<0: 0 <a^x<1. Якщо а<0, то за х>0: 0<a^x<1, а за х<0: a^x >1.

5).Якщо х=0, то за будь-якого а>0 у=a^x=1, тб графік завжди проход. ч/з точку (0;1).

6).Ф-ція при а>1 , а при 0<a<1-спадна.

7).Ф. неперервна і диф. на всій обл. визн.

8) обл. знач. ф-ції є множ. всіх дод. чисел.

Щодо означ. показн. рів-нь у Шкм існ.2 погляди: 1) це рів-ня, в яких невідоме міститься лише у показнику степеня. 2) не тільки у показн. степеня. Аналог. погл. існ. щодо означ. показн. нерівн.

Розв’язуючи пок. рів-ня та нерівн., учні краще засвоюють власт. відпов. ф-ції, вдосконалюють навички виконання тотожн. перетвор. Найчастіше використ. такі спос. розв.:

1) зведення обох частин до однієї основи; 2)логарифмування обох частин (обов’язк. зверт. увага на основу логар.); 3) введення допоміжної змінної. 4) граф. спосіб; 5) винесення спільного множника за дужки.

При роз-ні пок. нерівн. важливо наголос., що теорет. основою їх роз-ня є власт. монотонності показн. ф-ції, а способи роз-ня аналог. спос. роз-ня пок. рівнян.

Дуже часто профільність розуміють як для гуман. кл.-низький рівень, а для фіз.-мат. кл.-високий. Це невірно, треба просто, щоб завдання були з профес. застосуванням. У класі повинна бути внутр. класна диференціація. Дуже добре використ. на уроках програмні засоби

15. Особливості вивчення теми«Логарифм. Ф-ція» в класах різного профілю (мета, зміст, методика викладання). Розви-ток пізнавальних інтересів учнів в процесі вивчення теми.

Тема вивч. в 11 кл. (Аналіз програм).

Перш ніж ввод. логар. ф-цію, як ф-цію, обернену до показн., доціл. ввести означ. log числа b за основою а(а>0, а1) як показника степеня, до якого треба піднести число а, щоб дістати число b і запровадити символ log_ab. Треба зверн. увагу уч. на те, що рівності log_ab=x і ax=b вираж. те саме співвідн. між а, b, х.

Варто розв'яз. кілька вправ на перехід від показник. до логар. рівностей, обчислення знач. виразів на зразок log 64,а потім навести основну логариф. тотож. і розв'яз. кілька усних вправ на її застосув. до обчислення знач. виразів.

Основою для розв'яз-ня лог. рів-нь і нерівн, тотожних перетворень лог. виразів є 4 теореми про основні вл. лог. і наслідки з них, а також деякі важливі лог. тотожності. Маються на увазі тотож-ті:

Можна запроп. уч. самост. знайти ф-цію, оберн. до показн. ф-ї у=a^x, скорист. відомим їм алгоритмом відшукання фор-ли ф-ції, оберн. до даної, з яким вони могли ознайом. раніше під час вивч. оберн. тригон. ф-цій.

Учні самі доходять означ. лог. функ. як оберн. до показн., виконуючи кроки: 1) у =a^x зростаюча за а>1, спадна за 0<а<1, тому вона є оборотною на всій обл. визнач. Враховуємо, що xÎ R, yÎ (0, +¥) .

2) Розв'яж. рів-ня з двома невідомими у=a^x стосовно невідомої х. Оскільки х-показник степеня, то за означ. лог., х=log_aу=φ(у).

3)Поміняємо познач. незалежн. та залежн. змінних. Дістанемо у=log_aх, де х є (0; +¥),уÎ R.

О. Функція, оберн. до показн. ф-ції y=a^x (a>0, а¹1) наз. логарифмічною і познач. y=log_ax.

Побудувавши графік логарифм. ф-ції як кривої, симетричної графіку функції у=a^x відносно прямої у=х, учні споч. самі «прочитують» власт. цієї ф-ції за графіком, а потім доводять їх аналітично.

Властивості:

1) обл. визн.-мн. дод. чисел; 2) обл. знач.-мн. R; 3) ф-ція ­ на всій обл. визн, якщо а>1; якщо 0<а<1 – ¯.4) для кожного у=0: х=1 5) неперерв. і диф. 6) якщо а>1, то у>0 при х>1; y<0 при 0<x<1. Якщо 0<а<1, то у>0 при 0<x<1; у<0 при х>1.

У зв’язку з вивч. ЛФ достатню увагу слід приділ. засвоєнню лог. тотожност. та застос. їх до обчисл. знач. виразів, тотожних перетвор. логарифм. виразів, розв-ня логарифм. р-нь та нерівн.

Лог. рів-ня та нер. Щодо означ. лог. рів.у Шкм існ.2 погляди: 1) це рів-ня, в яких невідоме міститься лише під знаком лог. або в його основі; 2) не тільки під знаком лог. або в його основі. Аналогічні погл. існують щодо означ. логариф. нерівностей. У школі корист. першим означ. (невідома лише під знаком логар.).

Під час розв'яз. лог. рів-нь використ. лог. тотожн., власт. лог. і операцію потенціювання. Важливо зверн. увагу учнів на те, що оск. лог.ф-я визначена лише на множ. дод. чисел, то варто ще до розв'яз. рів-ня знайти обл. визн. виразів, що входять до складу рів-нь. Очевидно, напр., що lg(x-5)=lg(3-x) не має розв'яз, оскільки х мають належати спільній частині областей визн. виразів lg (x - 5) і lg (3 - х), тобто мн. розв'язків сис-ми х>5 і х<3. Оскільки сис-ма не має розв'яз., то їх не має і дане рів.

Слід застерегти учнів від можливих порушень еквівалент-ності лог. рівнянь внаслідок викон. тотожн. перетвор. Напр., якщо маємо рів. lgx²=3,то, розв'язуючи його за озн. лог., дістаємо 2 розв'яз. Справді, х²=10³, х = ±10^3/2 Коли ж розв'язувати це рів-ня на основі твердж. про логарифм степеня, то маємо 2lgx=3, lgx=3/2, x=10^3/2. Втрата розв'язку сталася внаслідок використання тотож. log_au^v=vlog_au, яка справедлива лише при додат. u. Доцільно також звести в с-му основні спос. роз-ня лог.. р-нь:

1) потенціювання;

2) введення допоміж. змінної;

3) граф. сп; 4) застос. формули переходу до нової основи.

При роз-ні лог. нерівн. потрібно спеціально наголосити на вимозі враховувати обл. визнач. виразів, які містить нерівн.

Дуже часто профільність розуміють як для гуман. кл.-низький рівень, а для фіз.-мат. кл.-високий. Це невірно, треба просто, щоб завд. були з профес. застосув. У класі повинна бути внутр. класна диференціація. Дуже добре використ. на уроках програмні засоби.