4. Решение систем линейных уравнений
4.1. Основные понятия
К решению систем линейных уравнений сводится многочисленные практические задачи. Можно утверждать, что решение линейных уравнений является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики (численных методов).
Запишем систему из n линейных алгебраических уравнений, с n неизвестными:
}
(4.1)
Коэффициенты этой системы образуют квадратную матрицу:
.
(4.2)
Обозначим: Х - вектор-столбец неизвестных хi; В - вектор-столбец свободных членов системы (4.1) bi (i = 1, 2, … , n). Тогда
(4.3)
Система уравнений (4.1) в матричном виде:
А*Х=В. (4.4)
Определителем матрицы А называется число D, равное:
Необходимым и достаточным условием
существования единственного
решения системы
линейных уравнений является условие
.
Методы решения систем линейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы используют конечные формулы для вычисления неизвестных. Они дают решение после выполнения заранее известного количества операций. Эти методы сравнительно просты и универсальны. Пример – метод Крамера.
Однако прямые методы имеют ряд недостатков. Наиболее существенным является накапливание погрешностей в процессе решения, т.к. вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Погрешности накапливаются из-за отбрасывания в ЭВМ младших разрядов чисел. Это особо опасно для больших систем (n > 200), а так же для плохо обусловленных систем (D близок к нулю, очень мал). Прямые методы не используют так же для систем с плохо заполненной матрицей (много нулей).
Итерационные методы – это методы последовательных приближений. В них необходимо задать некоторое приближенное решение – начальное приближение. После этого по определенному алгоритму проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения решения с заданной точностью. Алгоритмы решения линейных систем уравнений с использованием итерационных методов обычно более сложные по сравнению с прямыми методами. Объем вычислений заранее определить трудно.
Тем не менее, итерационные методы в ряде случаев предпочтительнее. Например, погрешности окончательных результатов при их использовании не накапливаются т.к. точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных вычислений.
Для реализации итерационных методов часто требуется меньше памяти ПК по сравнению с использованием прямых методов.
Эти достоинства итерационных методов делают их особенно полезными в
случае большого числа уравнений, а также плохо обусловленных систем.
Следует отметить, что сходимость итераций может быть очень медленной; поэтому ищутся эффективные пути ее ускорения.