64. Дискретизация по методу наибольшего отклонения.

В процессе дискретизации по критерию наибольшего отклонения задается допустимое значение погрешности восстановления сигнала (сигма). При восстановлении сигнала непрерывная функция s(t) аппроксимируется, как правило, степенными полиномами n-го порядка. Погрешность восстановления функции s(t) полиномом sa(t) определяется остаточным членом L(t):

L(t) = s(t) - sa(t) = сигма (t).

Шаг дискретизации выбирается из условия обеспечения L(t) < сигма по всему интервалу определения функции s(t). Как правило, динамика функции s(t) может существенно изменяться в различные моменты времени по интервалу регистрации, при этом шаг дискретизации также может изменяться, при условии не превышения заданной погрешности на каждом шаге. При установленном значении (сигма) уменьшение числа отсчетов обеспечивается повышением степени аппроксимирующего многочлена. На практике обычно ограничиваются ступенчатой, линейной и параболической аппроксимацией полиномами соответственно нулевой, первой и второй степеней.

В качестве интерполирующих многочленов используют многочлены Лагранжа. Для многочленов Лагранжа нулевой степени значение sa(t) в момент времени t на интервале ti<t<ti+1 между двумя последовательными отсчетами функции принимается равным отсчету s(ti+1). Если восстановление сигнала s(t) проводить по двум отсчетам: sa(ti) = [s(ti+1)-s(ti)]/2, то при том же шаге дискретизации погрешность восстановления сигнала уменьшается вдвое. Но при использовании двух последовательных отсчетов лучше использовать многочлены Лагранжа первой степени, т.е. соединение двух последовательных отсчетов прямой линией, что дает еще большее уменьшение погрешности восстановления аналоговой формы сигнала.

В качестве экстраполирующих многочленов используется многочлены Тейлора. Для многочлена Тейлора нулевой степени условия восстановления сигнала практически не отличаются от многочлена Лагранжа, за исключением направления (от текущего зарегистрированного отсчета и вперед по t). Для многочленов Тейлора более высоких степеней при восстановлении сигнала помимо отсчета s(ti) используется также соответствующие значения производных в точке отсчета. Восстановление сигнала многочленами Тейлора происходит без задержки во времени. Однако при использовании многочленов выше нулевой степени для точного восстановления сигнала по сравнению с интерполяционными методами требуется в два раза более высокая частота дискретизации.

Главным преимуществом этого метода является то, что он связывает непосредственно интервал между отсчетами, допустимую погрешность и показатель динамики функции – максимальное значение производной функции.

  Недостатками являются следующие: - метод не позволяет определить стохастические характеристики дискретизации; - не определяется оптимальная степень интерполирующего полинома; - метод не точен в отношении функции дифференцируемой до бесконечности.

65. Бчх коды.

БЧХ (КОДЫ БОУЗА — ЧОУДХУРИ — ХОКВИНГЕМА) – коды составляют большой класс кодов, предназначенных для исправления независимых ошибок произвольной кратности s. Их минимальное кодовое расстояние должно быть не менее чем d_min =2s+1.

В общем случае эти понятия справедливы для множества многочленов с коэффициентами из поля GF(q), где q - простое число. Поскольку нас интересуют в первую очередь двоичные коды, мы ограничимся случаем q = 2.

Если в качестве образующего многочлена идеала g(x) взят неприводимый многочлен степени т, принадлежащий показателю степени n(n = 2^m—1), то общее число классов вычетов, включая идеал, равно 2^m.

Зададим операции сложения и умножения для полученных классов вычетов:

где (ri(х)) — класс вычетов по модулю многочлена g(x) содержащий элемент ri(x).

При этом совокупность классов вычетов образует конечное поле. Оно насчитывает 2^m элементов, обозначается GF(2^m) и называется расширением поля степени m над GF(2). Единичным и нулевым элементами поля являются классы вычетов соответственно (1) и (0).

Для любого ненулевого элемента поля (г_a(х)) в нем найдется обратный ему элемент (r_a(х)), удовлетворяющий равенству

Построение и реализация кодов. Процесс выбора образующего многочлена кода БЧХ рассчитано на исправление единичных ошибок. Опознавателями ошибок считаются различные степени примитивного элемента поля GF(2^m), построенного с использованием выбранного неприводимого многочлена g(x) степени m, принадлежащего показателю степени n = 2^m—1. Так как число различных ненулевых элементов поля, выраженных степенями примитивного элемента, равно n, то каждому вектору ошибки в отдельном разряде можно сопоставить свой опознаватель, что и гарантирует возможность исправления ошибок.

При возникновении двух ошибок построенный код позволяет определить только сумму s опознавателей этих ошибок

где ξ, и ξ, — опознаватели ошибок в разрядах i и j.

Для однозначного определения ошибок необходимо еще одно независимое уравнение. Возможно использование степенных функций от ξ. Однако квадраты опознавателей не приводят к желательному результату, поскольку второе уравнение с учетом сложения по модулю два оказывается квадратом первого. Действительно,

Если использовать кубы опознавателей, то уравнения оказываются независимыми

Такой подход допускает обобщение на случай исправления 3- и 4-кратных ошибок и т. д. При этом к полученным уравнениям соответственно добавляются уравнения с опознавателями в пятой, седьмой степенях и т. д.

Коснемся подробнее случая исправления двойных ошибок. Проведем преобразование второго уравнения

откуда

Поскольку известны сумма и произведение опознавателей, то на основании теоремы Виета можно составить уравнение, для которого опознаватели ξ_i и ξ_j являются корнями:

Если ошибка оказалась одна, то

и ее опознаватель удовлетворяет уравнению

При отсутствии ошибок получаем нулевые опознаватели, так как s₁=s₃ = 0.

На практике оказывается удобнее использовать многочлены, корнями которых являются не опознаватели ошибок, а их мультипликативные обратные элементы z= =ξ^-1.

Для случая исправления двойных ошибок левая часть уравнения преобразуется к виду

При возникновении одной ошибки

при отсутствии ошибок

Суммы нечетных степеней опознавателей ошибок можно определить за счет последовательного добавления к выбранному примитивному многочлену g(x) в качестве сомножителей минимальных многочленов для элементов α³ (случай двойных ошибок), α⁵ (случай тройных ошибок) и т. д. Суммы нечетных степеней опознавателей ошибок вычисляются по остаткам, получаемым в результате деления принятой кодовой комбинации на соответствующий минимальный многочлен.

В общем случае образующий многочлен кода БЧХ представляет собой наименьшее общее кратное (НОК) примитивного и минимальных многочленов