Система массового облуживания с ожиданием

Если время ожидания в очереди не ограничено, то СМО называется чистой системой с ожиданием.

Если время ограничено, то – системой смешенного типа (это промежуточный случай между чистой системой с ожиданием и чистой системой с отказами).

Ограничения на ожидание могут быть различного типа:

1. ограничение на время ожидания заявок в очереди;

2. ограничение на общее время пребывания заявки в системе;

3. ограничение на число заявок в очереди

Рассмотрим смешанную СМО с n каналами при след. условиях:

на вход СМО поступает простейший поток заявок с плотностью λ; время обслуживания распределено по показательному закону с параметром ; заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания, время ожидание ограничено некоторым сроком , которое является СВ, распределенной по показат. закону:

где – величина, обратная среднему сроку ожидания

Параметр ν аналогичен параметрам λ, μ – потока заявок и потока освобождений, его можно интерпретировать как плотность «потока уходов» заявок, стоящих в очереди.

Заметим, что при система превращается в чистую СМО с отказами, а при - в чистую систему с ожиданием.

Напишем уравнения для вероятностей следующих состояний:

– все каналы свободны (очереди нет);

– занят один канал (очереди нет);

– заняты два канала (очереди нет);

…

– заняты все n каналов (очереди нет);

- заняты все n каналов, одна заявка в очереди;

- заняты все n каналов, две заявки в очереди;

…

- заняты все n каналов, S заявок в очереди;

…

Граф состояний:

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

nμ+3ν

nμ+2ν

nμ+ν

nμ

3μ

2μ

μ

nμ+Sν

Очевидно, что первые n- уравнений совпадают с уравнениями Эрланга, отличие начнется при k=n. Для установившегося режима работы СМО получаем систему алгебраических уравнений:

…

…

…

Кроме того:

- нормировочное условие.

Решая систему, находим:

при

при

…

где находим из нормировочного условия:

Вводя обозначения , получаем:

для (

для

Определим вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной. При установившемся режиме вероятность равна отношению среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени к среднему числу заявок, поступающих в систему в единицу времени.

Вычислим математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди:

Из среднего числа заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания заявок в единицу времени.

Тогда

а относительная пропускная способность:

При получим формулы Эрланга для системы с отказами, а при - формулы для чистой системы с ожиданием.

Смо с ожиданием с ограничением по длине очереди

На n- канальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Время обслуживания одной заявки – показательное с параметром .

Число мест в очереди ограничено и равно m.

Если заявка приходит в момент, когда все эти места заняты, она получает отказ и покидает систему.

Возможные состояния:

– все каналы свободны (очереди нет);

– занят один канал (очереди нет);

– заняты два канала (очереди нет);

…

– заняты все n каналов (очереди нет);

- заняты все n каналов, одна заявка в очереди;

…

- заняты все n каналов, m- заявок в очереди;

Граф состояний:

Имеем схему гибели и размножения, тогда для предельных вероятностей получаем:

…

находим, используя нормировочное условие:

где

- формула для геометрической прогрессии.

Поступившая заявка получает отказ, если заняты все n – каналов и все m – мест в очереди, т.е.

а относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Найдем среднее число занятых каналов.

Каждый занятый канал обслуживает в среднем μ-заявок в единицу времени. Вся же СМО обслуживает в среднем A заявок в единицу времени.

Тогда:

- среднее число занятых каналов

Среднее число заявок в очереди:

Тогда среднее число заявок в системе:

Формулы Литтла

СМО называется открытой, если интенсивность поступающего на нее потока заявок не зависит от состояния самой СМО.

Для любой открытой СМО в предельном стационарном режиме среднее время пребывания заявки в системе выражается через среднее число заявок в системе по формуле:

где k – среднее число заявок в системе, а среднее время пребывания заявки в очереди выражается через среднее число r заявок в очереди по формуле:

Эти формулы называются формулами Литтла.

Формулы Литтла позволяют вычислять не обе характеристики и k, а только какую-нибудь одну из них. Кроме того, формулы справедливы для любой открытой СМО (одноканальной, многоканальной, при любых видах потоков заявок и обслуживания). Единственное требование к потокам заявок и обслуживания – стационарность.

Аналогичное универсальное значение для открытых СМО имеет формула, выражающая среднее число занятых каналов Z через абсолютную пропускную способность

Пример: АЗС имеет 2 колонки. Поток машин имеет интенсивность Среднее время обслуживания одной машины Площадка у АЗС может вместить очередь не более трех машин. Машина, прибывшая в момент, когда все три места в очереди заняты, покидает АЗС (получает отказ). Найти характеристики СМО:

Решение:

Имеем :

Тогда

q=1-

Среднее число занятых каналов:

Среднее число машин в очереди:

Время ожидания в очереди:

Среднее число заявок в системе:

Среднее время пребыв. заявки в сист.