Приближенное сведение немарковских процессов к марковским. Метод «псевдосостояний»

На практике марковские процессы в чистом виде встречаются очень редко: реальные процессы почти всегда обладают тем или иным последействием. Кроме того, время пребывания системы в каком-либо состоянии не всегда распределено по показательному закону.

Возникает вопрос:

Можно ли приближенно заменять непуассоновские потоки пуассоновским и к каким ошибкам в предельных вероятностях состояний может привести подобная замена?

В некоторых случаях это возможно:

если число состояний системы не очень велико, а потоки событий, участвующие в задаче, представляют собой потоки Эрланга.

Тогда, вводя в схему возможных состояний системы некоторые фиктивные «псевдосостояния», удается свести немарковский процесс к марковскому и описать его с помощью уравнений Колмогорова.

Поясним идею метода «псевдосостояний» на примере.

Пример: рассматривается система X – техническое устройство, кот. может выходить из строя под влиянием простейшего потока неисправностей с интенсивностью . Отказавшее устройство сразу же начинает ремонтироваться. Время ремонта T распределено не по показательному закону, а по закону Эрланга второго порядка:

(поэтому процесс немарковский)

Требуется свести данный немарковский процесс к марковскому и найти для него предельные вероятности состояний.

Решение:

Т.к. СВ T – время ремонта, распределено по закону Эрланга второго порядка, то оно представляет собой сумму трех независимых СВ , распределенных по показательному закону с параметром :

Истинных состояний системы 2:

- устройство исправно;

– устройство ремонтируется

Г

λ

раф этих состояний имеет вид:

Переход по стрелке происходит под влиянием не простейшего, а эрланговского потока событий, поэтому процесс, происходящий в системе, не будет марковским и мы не можем написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

Чтобы искусственно свести этот процесс к марковскому, введем в цепочку состояний вместо одного состояния три последовательных «псевдосостояния»:

– первый этап ремонта (ремонт начинается)

– второй этап ремонта (ремонт продолжается)

– третий этап ремонта (ремонт заканчивается)

Т

λ

.О. разделили ремонт на три этапа или фазы, причем время пребывания системы в каждой из фаз распределено по показательному закону. Процесс, протекающий в такой системе, будет уже марковским, а соответствующий граф состояний будет иметь вид:

Процесс циклический, обозначая

получаем:

Или

Основы теории массового обслуживания

Предмет теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания (ТМО) применяется для анализа эффективности функционирования так называемых систем массового обслуживания (СМО).

Под СМО понимают систему объектов, называемых каналами обслуживания, кот. могут обслужить заявки из некоторого входящего потока заявок.

Например, пункты наведения и управления ПВО, аэродромы, телефонные станции, билетные кассы, бары и рестораны, и т.п.

Предмет ТМО – установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, характеристиками производительности отдельного канала и эффективностью обслуживания.

В СМО заявки поступают в случайные момент времени, число заявок и длительность их обслуживания – также СВ, поэтому процесс работы СМО является СП дискретного типа с непрерывным временем, а в потоке заявок образуются либо местное сгущение, либо разряжение. Сгущения могут привести либо к отказам в обслуживании, либо к образованию очередей. Разряжение – к простоям системы.

ТМО дает рекомендации по рациональной организации работы системы, выясняет ее пропускную способность и предъявляет требования к ее характеристикам.

Модель задачи массового обслуживания включает в себя след. элементы:

1. поток заявок;

2. каналы обслуживания;

3. дисциплину обслуживания;

4. показатели эффективности обслуживания.

Основные типы СМО и показатели, оценивающие их эффективность.

Различают два основных типа СМО:

1. системы с отказами (или потерями)

В таких системах заявка, пришедшая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получает отказ и покидает систему;

2. системы с ожиданием (или очередями)

Здесь заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из каналов. Время ожидания в очереди может быть ограниченным или неограниченным.

Заявки могут обслуживаться либо в порядке поступления (упорядоченное обслуживание), либо в случайном порядке (неупорядоченное обслуживание), либо в порядке предпочтения (обслуживание с приоритетом).

В зависимости от типа СМО при оценке ее эффективности применяются показатели, кот. можно разбить на две группы:

1. показатели обслуживания;

2. показатели загрузки.

Для СМО с отказами основными показателями эффективности обслуживания являются:

- абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, кот. может обслужить система в единицу времени;

- относительная пропускная способность – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой (вероятность обслуживания (или вероятность отказа в обслуживании)).

Показателями загрузки являются:

- среднее число занятых каналов;

- среднее число свободных каналов;

- вероятность застать систему свободной;

- среднее относительное время простоя системы в целом и отдельного канала.

Для СМО с неограниченным временем ожидания перечисленные показатели эффективности обслуживания не имеют смысла. Такие СМО оцениваются след. показателями:

- среднее время ожидания заявки в очереди;

- среднее время пребывания заявки в системе;

- вероятность обслуживания за допустимое время.

Показателями загрузки являются в таких системах:

- среднее число заявок в очереди;

- среднее число заявок в системе;

- средний интервал между моментами освобождения системы от заявок.

Важной особенностью перечисленных показателей является противоречие между показателями обслуживания и показателями загрузки, т.е. имеет место противоречие между эффективностью работы СМО и затратами на ее обеспечение.

На практике это приводит к проблеме оптимизации по векторному критерию.

Однако при решении военных задач компромиссное решение обычно отыскивают путем задания необходимого условия эффективности обслуживания и определения минимального числа каналов, при кот. этот уровень может быть достигнут.

Поток заявок в СМО то же, что поток событий в марковских процессах (см. выше)

Каналы обслуживания:

Режим и эффективность работы СМО зависит не только от характеристик входного потока заявок, но и существенно от характеристик работоспособности самой системы: числа каналов n и быстродействия каждого канала.

ОПР. Длительностью или временем обслуживания называется непрерывная СВ ,равная времени, которое затрачивает канал на обслуживание одной заявки.

В ТМО наиболее распространенными законами являются:

1. показательное распределение длительности :

где μ – среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени

2. эрланговское распределение

k – номер потока Эрланга.

Оно возникает, когда обслуживание состоит из (k+1) последовательных независимых этапов, длительность каждого из которых подчинена показательному закону с параметром .

Лекц 6. Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга.

Пусть имеется n – канальная СМО с отказами. Рассмотрим ее как физическую систему X с конечным множеством состояний:

- все каналы свободны;

- занят ровно 1 канал;

- занято ровно 2 канала;

…

- занято ровно k каналов;

…

- заняты все n каналов.

Допущения:

1. поток заявок – простейший с плотностью λ;

2. время обслуживания подчиняется показательному закону с параметром μ:

Параметр μ можно трактовать как плотность «потока освобождений» занятого канала. По стрелкам слева направо система переводит один и тот же поток – поток заявок с интенсивностью λ.

По стрелкам справа налево система переводит «поток освобождений» разной интенсивности:

если занято k каналов – в k раз интенсивнее одного канала.

«Перескоков» через состояния нет в силу ординарности потоков.

Размеченный граф состояний имеет вид:

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

nμ

(n-1)μ

(k+1)μ

kμ

3μ

2μ

μ

Процесс, протекающий в такой СМО, представляет собой частный случай процесса гибели и размножения.

Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний имеют вид:

Начальные условия:

(в начальный момент система свободна)

Эти уравнения называются уравнениями Эрланга.

Вероятности характеризуют среднюю загрузку системы и ее изменения с течением времени, в частности, есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t застанет все каналы занятными (получит отказ), т.е.

Величина называется относительной пропускной способностью системы (доля заявок, обслуживаемых системой).

Предельные вероятности состояний , характеризующие установившийся режим работы СМО (при , определяем по формулам для процесса гибели и размножения:

Обозначим для удобства . Эта величина назыв. приведенной плотностью потока заявок, и представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда получаем:

Это формула называется формулой Эрланга. Формула дает предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от параметров λ,μ,n

(λ – интенсивность потока заявок, μ – интенсивность обслуживания, n – число каналов СМО)

Зная все вероятности состояний , можно найти:

1. вероятность отказа в обслуживании:

2. относительную пропускную способность:

3. абсолютную пропускную способность:

4. среднее число занятых каналов: (степень загрузки СМО)