Продолжение таблицы 4
Номер варианта |
f(x) |
x0 |
y0 |
k (номер последней итерации) |
а |
b |
22 |
|
0 |
1 |
4 |
1 |
1 |
23 |
|
1 |
2 |
5 |
3 |
1,3 |
24 |
|
2 |
2 |
3 |
2 |
2 |
25 |
|
0 |
0 |
3 |
1 |
1 |
16 |
|
2 |
2 |
4 |
1 |
1 |
26 |
|
2 |
3 |
5 |
3 |
4 |
27 |
|
0 |
0 |
4 |
1 |
1 |
28 |
|
1 |
2 |
5 |
3 |
3 |
29 |
|
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
30 |
|
0 |
0 |
4 |
1 |
2 |
2.2 Метод Рунге – Кутты
Цель работы: решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка y = f(x) с начальными условиями y0=y(x0) на отрезке [x0, b] методом Эйлера и методом Рунге – Кутта четвертого порядка. Сравнить полученные численные решения с аналитическим решением.
Рекомендация к выполнению задания
Программирование метода производится в среде разработки на выбор студента (Delphi, Borland C++, Turbo Pascal и т. д.).
Входные параметры программы:
f(x) – правая часть дифференциального уравнения;
y0=y(x0) – начальные условия задачи Коши;
b – граница отрезка;
n – количество узлов сетки.
Выходные параметры программы:
графическое представление результатов численных и аналитического решений;
оценка глобальной погрешности численного решения.
Отчет по самостоятельной работе должен содержать:
постановку задачи;
аналитическое решение задачи Коши для дифференциального уравнения;
блок-схему реализации вычислений значений функции y(x) в узлах сетки;
программу решения задачи с графическим представлением результатов численных и аналитического решений;
оценку глобальной погрешности численного решения.
Теоретические сведения
Метод Рунге – Кутта по форме представления решения относится к численным методам, позволяющим отобразить приближенное решение в виде таблицы (в узлах сетки). Интегральная кривая (решение задачи Коши) на графике представляет собой ломаную, состоящую из отрезков, соединяющих значения найденной функции y(x) в узлах сетки. Данный метод относится к явным одношаговым методам.
Метод Эйлера относится к семейству методов Рунге – Кутта и имеет первый порядок относительно шага сетки. Рекуррентная формула метода Эйлера для дифференциального уравнения 1-го порядка y = f(x) с начальными условиями y0=y(x0) имеет вид:
yn+1(x)=yn+yn, (n=0, 1, 2, …), (23)
где yn=hf(xn,yn), h– шаг сетки.
Локальная погрешность
метода Эйлера (на одном шаге) есть
величина порядка
.
В вычислительной
практике наиболее часто используется
метод Рунге –
Кутта
четвертого порядка. Приведем без вывода
расчетные формулы для данного метода
на
-м
шаге при неравномерной сетке:
yi+1(x)=yi+yi, (n=0, 1, 2, …), (24)
где
[
],
,
,
,
.
Локальная погрешность метода Рунге – Кутта (на одном шаге) есть величина порядка h5.
ОПР. Глобальной ошибкой называется величина
,
где h – шаг сетки,
–
точное решение задачи Коши в узле xn.
Дифференциальное уравнение для лабораторной работы выбирается согласно таблице 5.
Таблица 5 – Варианты лабораторной работы № 2.2
Номер вари-анта |
f(x) |
Началь-ное условие |
Номер вари- анта |
f(x) |
Началь-ное условие |
1 |
|
|
16 |
|
|
2 |
|
|
17 |
|
|
3 |
|
|
18 |
|
|
4 |
|
|
19 |
|
|
5 |
|
|
20 |
|
|
6 |
|
|
21 |
|
|
